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1、第四章 数学规划模型,4.1 奶制品的生产与销售4.2 自来水输送与货机装运4.3 汽车生产与原油采购4.4 接力队选拔和选课策略4.5 饮料厂的生产与检修4.6 钢管和易拉罐下料,数学规划模型,实际问题中的优化模型,x决策变量,f(x)目标函数,gi(x)0约束条件,多元函数条件极值,决策变量个数n和约束条件个数m较大,最优解在可行域的边界上取得,数学规划,线性规划非线性规划整数规划,重点在模型的建立和结果的分析,优化模型与优化软件的重要意义,(最)优化:在一定条件下,寻求使目标最大(小)的决策 最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社会生活中经常遇到的问题,如:结构设计 资源分配 生产计划
2、 运输方案解决优化问题的手段 经验积累，主观判断 作试验，比优劣 建立数学模型(优化模型)，求最优策略(决策)(最)优化:在一定条件下,寻求使目标最大(小)的决策CUMCM赛题：约一半以上与优化有关，需用软件求解。,(最)优化理论是运筹学的基本内容,运筹学(OR:Operations/Operational Research)管理科学(MS:Management Science)决策科学(DS:Decision Science)优化(Optimization),规划(Programming),无约束优化,线性规划,非线性规划,网络优化,组合优化,整数规划,不确定规划,多目标规划,目标规划,动态
3、规划,OR/MS/DS,优化问题的一般形式,优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件,可行解（满足约束）与可行域（可行解的集合）最优解（取到最小大值的可行解）,给定一个函数 f(x),寻找 x*使得 f(x*)最小，即,其中,局部最优解,全局最优解,必要条件,最优解在可行域边界上取得时不能用无约束优化方法求解,无约束优化:最优解的分类和条件,约束优化的简单分类,线性规划(LP)目标和约束均为线性函数 非线性规划(NLP)目标或约束中存在非线性函数 二次规划(QP)目标为二次函数、约束为线性 整数规划(IP)决策变量(全部或部分)为整数 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP)纯整
4、数规划(PIP),混合整数规划(MIP)一般整数规划，0-1（整数）规划,数学规划,连续优化,离散优化,常用优化软件,1.LINDO/LINGO软件2.MATLAB优化工具箱3.EXCEL软件的优化功能4.SAS(统计分析)软件的优化功能5.其他,MATLAB优化工具箱能求解的优化模型,The toolbox includes routines for many types of optimization including:Unconstrained nonlinear minimization Constrained nonlinear minimization,including goa
5、l attainment problems,minimax problems,and semi-infinite minimization problems Quadratic and linear programmingNonlinear least squares and curve-fitting Nonlinear system of equation solving Constrained linear least squares Sparse and structured large-scale problems,MATLAB优化工具箱能求解的优化模型,优化工具箱3.0(MATLA
6、B 7.0 R14),连续优化,离散优化,无约束优化,非线性极小fminunc,非光滑(不可微)优化fminsearch,非线性方程(组)fzerofsolve,全局优化暂缺,非线性最小二乘lsqnonlinlsqcurvefit,线性规划linprog,纯0-1规划 bintprog一般IP(暂缺),非线性规划fminconfminimaxfgoalattainfseminf,上下界约束fminbndfminconlsqnonlinlsqcurvefit,约束线性最小二乘lsqnonneglsqlin,约束优化,二次规划quadprog,LINDO 公司软件产品简要介绍,美国芝加哥(Chic
7、ago)大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发,后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）网址：,LINDO:Linear INteractive and Discrete Optimizer(V6.1)LINGO:Linear INteractive General Optimizer(V9.0)LINDO API:LINDO Application Programming Interface(V2.0)Whats Best!:(SpreadSheet e.g.EXCEL)(V7.0),演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版求解问题规
8、模和选件不同,LINDO API,使用LINDO API可以建立求最佳解的应用程序。LINDO API允许你将强大的线性、整数或非线性求解引擎挂入你已写好的应用程序中。迅速、容易的应用程序开发LINDO API 可以使你容易地将最佳化的功能整合到你自己开发的应用程序中。LINDO API 附有完整的文件和范例帮助您迅速上手。强大的求解引擎LINDO API 提供的强大求解引擎包括针对线性、非线性(convex和nonconvex)，二次和整数的最佳化。完整的求解程序LINDO API 提供了你需要的弹性和功能，不管你的应用程序是大或小，简单或复杂。它包含了数十个程序(routine)来公式化、
9、求解、查询和修改你的问题。分析不可实行和无边际模型(Infeasible and Unbounded Models)LINDO API 内含工具可以找出导致模型无合理解或无边际模型的原因。建立因特网和企业内部网络的应用程序LINDO API 允许你建立因特网和企业内部网络的应用程序可同时供多人使用,LINDO和LINGO软件能求解的优化模型,LINGO,LINDO,优化模型,线性规划(LP),非线性规划(NLP),二次规划(QP),连续优化,整数规划(IP),LINDO/LINGO软件的求解过程,LP QP NLP IP 全局优化(选)ILP IQP INLP,LINDO/LINGO预处理程序
10、,线性优化求解程序,非线性优化求解程序,分枝定界管理程序,1.确定常数2.识别类型,1.单纯形算法2.内点算法(选),1、顺序线性规划法(SLP)2、广义既约梯度法(GRG)(选)3、多点搜索(Multistart)(选),建模时需要注意的几个基本问题,1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最大/最小值、四舍五入、取整函数等3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数（如x/y 5 改为x5y）4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103),需要掌
11、握的几个重要方面,1、LINDO:正确阅读求解报告（尤其要掌握敏感性分析）2、LINGO：掌握集合(SETS)的应用；正确阅读求解报告；正确理解求解状态窗口；学会设置基本的求解选项(OPTIONS)；掌握与外部文件的基本接口方法,DIFFERENCE BETWEEN LINGO AND LINDO,LINDO 用于求解线性规划和二次规划LINGO 还可用于非线性规划求解，一些线性和非线性方程组的求解。LINDO不提供数组或类似的数据结构。LINGO包含内置的建模语言，允许以简练、直观的方式描述较大规模的优化问题，模型中所需要的数据可以以一定格式保存在独立的文件中。,文件类型描述,.lg4 LI
12、NGO格式的模型文件 二进制格式文件.lng 文本格式的模型文件（不保存字体、颜色、嵌入对象）.ldt LINGO数据文件.ltf LINGO命令脚本文件.lgr LINGO报告文件.ltx LINDO格式的模型文件.mps 数学规划系统格式的模型文件,状态窗口,Model Class:LP,QP,ILP,IQ,PILP,PIQP,NLP,INLP,PINLP,State:Global Optimum Local Optimum Feasible Infeasible Unbounded Interrupted Undetermined,Solver Type:B-and-B 分支定界 Glo
13、bal 全局最优 Multistart 多个初始点,LINGO软件简介,LINGO模型的优点 包含了LINDO的全部功能 提供了灵活的编程语言（矩阵生成器）LINGO模型的构成：5个段 目标与约束段 集合段（SETS ENDSETS）数据段（DATA ENDDATA）初始段（INIT ENDINIT）计算段(CALC ENDCALC)-LINGO9.0,企业生产计划,4.1 奶制品的生产与销售,空间层次,工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；,车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划.,时间层次,若短时
14、间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划.,例1 加工奶制品的生产计划,50桶牛奶,时间480小时,至多加工100公斤A1,制订生产计划，使每天获利最大,35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?,可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?,A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？,每天：,问题,x1桶牛奶生产A1,x2桶牛奶生产A2,获利 243x1,获利 164 x2,原料供应,劳动时间,加工能力,决策变量,目标函数,每天获利,约束条件,非负约束,线性规划模型(LP),时间480小时,至多加工100公斤A1,基本模型,模型分析
15、与假设,比例性,可加性,连续性,xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比,xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比,xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关,xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关,xi取值连续,A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数,每桶牛奶加工A1,A2的数量,时间是与各自产量无关的常数,A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数,每桶牛奶加工A1,A2的数量,时间是与相互产量无关的常数,加工A1,A2的牛奶桶数是实数,线性规划模型,模型求解,图解法,约束条件,目标函数,z=c(常数)等值线,在B(20,30)点得到最优解,目标函数和约束条件是线性函数,可行域为直线段
16、围成的凸多边形,目标函数的等值线为直线,最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。,模型求解,软件实现,LINGO,model:max=72*x1+64*x2;milk x1+x250;time 12*x1+8*x2480;cpct 3*x1100;end,Global optimal solution found.Objective value:3360.000 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Du
17、al Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000,20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。,结果解释,Global optimal solution found.Objective value:3360.000 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplu
18、s Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000,model:max=72*x1+64*x2;milk x1+x250;time 12*x1+8*x2480;cpct 3*x1100;end,三种资源,“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）,结果解释,Global optimal solution found.Objective value:3360.000 Total solver iterations:2 Variable Value
19、 Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000,最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量,影子价格,35元可买到1桶牛奶，要买吗?,35 48,应该买！,聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?,2元！,Ranges in which the basis is unchanged:Object
20、ive Coefficient Ranges Current Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.00
21、00 INFINITY 40.00000,最优解不变时目标函数系数允许变化范围,Options-General Solver-Dual Computations敏感性分析(“LINGO|Ranges”),x1系数范围(64,96),x2系数范围(48,72),A1获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划?,x1系数由24 3=72增加为303=90，在允许范围内,不变！,(约束条件不变),结果解释,Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient Ranges Current Allowable AllowableVar
22、iable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000,影子价格有意义时约束右端的允许变化范围,原料最多增加10,时间最
23、多增加53,35元可买到1桶牛奶,每天最多买多少?,最多买10桶!,(目标函数不变),充分条件!,例2 奶制品的生产销售计划,在例1基础上深加工,制订生产计划，使每天净利润最大,30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？,50桶牛奶,480小时,至多100公斤A1,B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？,每天销售10公斤A1的合同必须满足，对利润有什么影响？,出售x1 kg A1,x2 kg A2，,x3 kg B1,x4 kg B2,原料供应,劳动时间,加工能力,决策变量,目标函数,利润,约束条件,非负约束,x5 kg A1加工B1，x6
24、 kg A2加工B2,附加约束,基本模型,模型求解,软件实现,LINGO,Global optimal solution found.Objective value:3460.800 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000 X3 19.20000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.00000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 Row Slack or Surplus Dual Pr
25、ice 1 3460.800 1.000000 MILK 0.000000 3.160000 TIME 0.000000 3.260000 CPCT 76.00000 0.000000 5 0.000000 44.00000 6 0.000000 32.00000,Global optimal solution found.Objective value:3460.800 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000 X3 19.20000 0.00
26、0000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.00000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3460.800 1.000000 MILK 0.000000 3.160000 TIME 0.000000 3.260000 CPCT 76.00000 0.000000 5 0.000000 44.00000 6 0.000000 32.00000,结果解释,每天销售168 kgA2和19.2 kgB1，利润3460.8（元）,8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将得到的24kgA1
27、全部加工成B1,除加工能力外均为紧约束,结果解释,Global optimal solution found.Objective value:3460.800 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000 X3 19.20000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.00000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3460.8
28、00 1.000000 MILK 0.000000 3.160000 TIME 0.000000 3.260000 CPCT 76.00000 0.000000 5 0.000000 44.00000 6 0.000000 32.00000,增加1桶牛奶使利润增长3.1612=37.92,增加1小时时间使利润增长3.26,30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？,投资150元增加5桶牛奶,可赚回189.6元。(大于增加时间的利润增长),结果解释,B1,B2的获利有10%的波动，对计划有无影响,Ranges in which the basis is u
29、nchanged:Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5-3.000000 15.800000 2.533334 X6-3.000000 1.520000 INFINITY,B1获利下降10%
30、，超出X3 系数允许范围,B2获利上升10%，超出X4 系数允许范围,波动对计划有影响,生产计划应重新制订：如将x3的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。,Global optimal solution found.Objective value:3460.800 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000 X3 19.20000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.00000 0.000000 X6 0
31、.000000 1.520000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3460.800 1.000000 MILK 0.000000 3.160000 TIME 0.000000 3.260000 CPCT 76.00000 0.000000 5 0.000000 44.00000 6 0.000000 32.00000,结果解释,x1从0开始增加一个单位时，最优目标函数值将减少1.68,Reduced Cost有意义也是有条件的(LINGO没有给出),每天销售10公斤A1的合同必须满足，对利润有什么影响？,公司利润减少1.6810=16.8（元）,最优利润为
32、3460.8 16.8=3444,奶制品的生产与销售,由于产品利润、加工时间等均为常数，可建立线性规划模型.,线性规划模型的三要素：决策变量、目标函数、约束条件.,用LINGO求解，输出丰富，利用影子价格和灵敏性分析可对结果做进一步研究.,建模时尽可能利用原始的数据信息，把尽量多的计算留给计算机去做（分析例2的建模）.,4.2 自来水输送与货机装运,生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大?,运输问题,各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少?,其他费用:450元/千吨,应如何分配水库供水量，公司才能获利最多
33、？,若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？,例1 自来水输送,收入：900元/千吨,支出,总供水量：160,确定送水方案使利润最大,问题分析,总需求量：120+180=300,总收入900160=144,000(元),收入：900元/千吨,其他费用:450元/千吨,支出,引水管理费,其他支出450160=72,000(元),供应限制,约束条件,需求限制,线性规划模型(LP),目标函数,水库i 向j 区的日供水量为 xij（x34=0）,决策变量,模型建立,确定3个水库向4个小区的供水量,模型求解,部分结果：Objective Value:24400.00 Variable Value
34、Reduced Cost X11 0.000000 30.000000 X12 50.000000 0.000000 X13 0.000000 50.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 0.000000 10.000000 X22 50.000000 0.000000 X23 0.000000 20.000000 X24 10.000000 0.000000 X31 40.000000 0.000000 X32 0.000000 10.000000 X33 10.000000 0.000000,利润=总收入-其它费用-引水管理费=144000-72000-244
35、00=47600（元）,引水管理费 24400(元),目标函数,总供水量(320)总需求量(300),每个水库最大供水量都提高一倍,利润=收入(900)其它费用(450)引水管理费,供应限制,B,C 类似处理,问题讨论,确定送水方案使利润最大,需求约束可以不变,求解,部分结果：Objective Value:88700.00 Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0
36、.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000,运输问题,总利润 88700（元）,供需平衡或不平衡,如何装运，使本次飞行获利最大？,三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3),例2 货机装运,三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例.,飞机平衡,WET=(10,16,8),VOL=(6800,8700,5300);w=(18,15,23,12),v=(4
37、80,650,580,390),p=(3100,3800,3500,2850).,已知参数,i=1,2,3,4（货物）j=1,2,3(分别代表前、中、后仓)货舱j的重量限制WETj体积限制VOLj第i种货物的重量wi，体积vi，利润pi,货机装运,决策变量,xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨）i=1,2,3,4,j=1,2,3(分别代表前、中、后仓),模型假设,每种货物可以分割到任意小；,货机装运,每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；,多种货物可以混装，并保证不留空隙；,所给出的数据都是精确的，没有误差.,模型建立,货舱容积,目标函数(利润),约束条件,货机装运,模型建立,货舱
38、重量,xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量,约束条件,平衡要求,货物供应,货机装运,模型建立,xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量,j,k=1,2,3;jk,!定义集合及变量;sets:cang/1.3/:WET,VOL;wu/1.4/:w,v,p;link(wu,cang):x;endsets!对已知变量赋值;data:WET=10,16,8;VOL=6800,8700,5300;w=18,15,23,12;v=480,650,580,390;p=3100,3800,3500,2850;enddatamax=sum(wu(i):p(i)*sum(cang(j):x(i,j);fo
39、r(wu(i):sum(cang(j):x(i,j)w(i);for(cang(j):sum(wu(i):x(i,j)WET(j);for(cang(j):sum(wu(i):v(i)*x(i,j)VOL(j);for(cang(j):for(cang(k)|k#GT#j:!#GT#是大于等于的含义;sum(wu(i):x(i,j)/WET(j)=sum(wu(i):x(i,k)/WET(k););END,货机装运,LINGO程序,Global optimal solution found.Objective value:121515.8 Total solver iterations:12V
40、ariable Value Reduced Cost X(1,1)0.000000 400.0000 X(1,2)0.000000 57.89474 X(1,3)0.000000 400.0000 X(2,1)7.000000 0.000000 X(2,2)0.000000 239.4737 X(2,3)8.000000 0.000000 X(3,1)3.000000 0.000000 X(3,2)12.94737 0.000000 X(3,3)0.000000 0.000000 X(4,1)0.000000 650.0000 X(4,2)3.052632 0.000000 X(4,3)0.0
41、00000 650.0000,货物2：前仓7,后仓8；货物3:前仓3,中仓13；货物4:中仓3。,货机装运,模型求解,最大利润约121516元,货物供应点货舱需求点,装载平衡要求,如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应作何改变？,例1 汽车厂生产计划,汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.,制订月生产计划，使工厂的利润最大.,4.3 汽车生产与原油采购,设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3,汽车厂生产计划,模型建立,线性规划模型(LP),模型求解,3）模型中增加条件：x1,x2,x3 均为整数，重新求
42、解.,Objective Value:632.2581 Variable Value Reduced Cost X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 0.731183 3 0.000000 0.003226,结果为小数，怎么办？,1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大.,2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z
43、，通过比较可能得到更优的解.,但必须检验它们是否满足约束条件.为什么？,IP可用LINGO直接求解,整数规划(Integer Programming,简记IP),IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632,max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3600;280*x1+250*x2+400*x360000;gin(x1);gin(x2);gin(x3);,Global optimal solution found.Objective value:632.0000 Extended solver steps:0 Total solver ite
44、rations:3 Variable Value Reduced Cost X1 64.00000-2.000000 X2 168.0000-3.000000 X3 0.000000-4.000000,模型求解,IP 结果输出,其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：,方法1：分解为8个LP子模型,汽车厂生产计划,若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划.,x1,x2,x3=0 或 80,x1=80，x2=150，x3=0，最优值z=610,LINGO中对0-1变量的限定：bin(y1);bin(y2);bin(y3);,方法2：引入0-1变量，化为整
45、数规划,M为大的正数,本例可取1000,Objective Value:610.0000 Variable Value Reduced Cost X1 80.000000-2.000000 X2 150.000000-3.000000 X3 0.000000-4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000,若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划.,x1=0 或 80,最优解同前,max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x30;x2*(x2-80)0;x3*(x3-80
46、)0;gin(x1);gin(x2);gin(x3);,方法3：化为非线性规划,非线性规划（Non-Linear Programming，简记NLP）,若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划.,x1=0 或 80,最优解同前.,一般地，整数规划和非线性规划的求解比线性规划困难得多，特别是问题规模较大或者要求得到全局最优解时.,汽车厂生产计划,决策变量为整数,建立整数规划模型.,求解整数规划和非线性规划比线性规划困难得多(即便用数学软件).,当整数变量取值很大时,可作为连续变量处理,问题简化为线性规划.,对于类似于“x=0 或 80”这样的条件，通常引入0-1变量处理，尽量不用非线性规划（
47、特别是引入的整数变量个数较少时）.,应如何安排原油的采购和加工？,例2 原油采购与加工,市场上可买到不超过1500吨的原油A：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨.,决策变量,目标函数,问题分析,利润：销售汽油的收入购买原油A的支出.难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂.,原油A的购买量,原油A,B生产汽油甲,乙的数量,c(x)购买原油A的支出,利润(千元),c(x)如何表述？,原油供应,约束条件,x 500吨单价为10千元/吨；500吨 x 10
48、00吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨 x 1500吨，超过1000吨的6千元/吨.,目标函数,目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；想办法将模型化简，用现成的软件求解.,汽油含原油A的比例限制,约束条件,x1,x2,x3 以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数,目标函数,只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2,方法1,非线性规划模型，可以用LINGO求解,模型求解,x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3,500吨 x 1000吨，超过500吨的
49、8千元/吨,x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3,类似地有,方法1：LINGO求解,Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12 0;2*x12-3*x22 0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1 500;x2 500;x3 500;end,Local optimal solution found.Objective value:4800.000 Total solver iterations:14 Variable Value Reduc
50、ed Cost X11 500.0000 0.000000 X21 500.0000 0.000000 X12 0.000000 0.2666667 X22 0.000000 0.000000 X1 0.000000 0.4000000 X2 0.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X 0.000000 0.000000,LINGO得到的是局部最优解,还能得到更好的解吗？,用库存的500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4800千元。,方法1：LINGO求解,计算全局最优解：选LINGO|Options菜单；在弹出的选项卡中选择“
