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1、2023/10/1,1,第三章 行波法与积分变换法,一 行波法,适用范围：无界域内波动方程，等,1 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。,关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。,2023/10/1,2,2023/10/1,3,一维波动方程的达朗贝尔公式,行波法,2023/10/1,4,结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。,a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波,4 解的物理意义,b.只有初始速度时：假使初始速度在区
2、间 上是常数，而在此区间外恒等于0,2023/10/1,5,解：将初始条件代入达朗贝尔公式,5 达朗贝尔公式的应用,2023/10/1,6,特征线,特征变换,行波法又叫特征线法,6 相关概念,2023/10/1,7,7 非齐次问题的处理(齐次化原理),利用叠加原理将问题进行分解：,2023/10/1,8,利用齐次化原理，若 满足：,则：,令：,2023/10/1,9,从而原问题的解为,2023/10/1,10,2023/10/1,11,特征方程,2023/10/1,12,例1 解定解问题,解,2023/10/1,13,例2 求解,解：特征方程为,令：,2023/10/1,14,例3 求解Gou
3、rsat问题,解：令,2023/10/1,15,思考题：求解如下定解问题,2023/10/1,16,二 积分变换法,1 傅立叶变换法,傅立叶变换的性质,微分性,位移性,积分性,相似性,傅立叶变换的定义,偏微分方程变常微分方程,2023/10/1,17,例1 解定解问题,解：利用傅立叶变换的性质,2023/10/1,18,2023/10/1,19,例2 解定解问题,解：利用傅立叶变换的性质,2023/10/1,20,2 拉普拉斯变换法,拉普拉斯变换的性质,微分性,相似性,拉普拉斯变换的定义,偏微分方程变常微分方程,2023/10/1,21,例3 解定解问题,解：对t求拉氏变换,2023/10/1
4、,22,例4 解定解问题,解：对x求傅氏变换,对t求拉氏变换,2023/10/1,23,2023/10/1,24,例5 解定解问题,解：对t求拉氏变换,对x求傅氏变换,2023/10/1,25,2023/10/1,26,例6 求方程,解法一：,2023/10/1,27,解法二：对y求拉氏变换,2023/10/1,28,例7 解定解问题,解：对t取拉氏变换,x取傅立叶变换,其中,2023/10/1,29,2023/10/1,30,2023/10/1,31,2023/10/1,32,3 积分变换法求解问题的步骤,对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程,对定解条件做相应的积分变换，导出新方
5、程变的为定解条件,对常微分方程，求原定解条件解的变换式,对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解,4 积分变换法求解问题的注意事项,如何选取适当的积分变换,定解条件中那些需要积分变换，那些不需取,如何取逆变换,思考,利用积分变换方法求解问题的好处是什么？,2023/10/1,33,三.三维波动方程的柯西问题,2023/10/1,34,球对称情形,所谓球对称是指,与,无关，则波动方程可化简为,2023/10/1,35,半无界问题,2023/10/1,36,这是关于 v=r u 的一维半无界波动方程.,2023/10/1,37,一般情形,我们利用球平均法。,从物理上看，波具有球对称性。从数学
6、上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。,所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑 u 在以（x，y，z）为球心，r 为半径的球面上的平均值,其中,为球的半径,的方向余弦，,2023/10/1,38,如把 x,y,z 看作参变量，则,是 r，t的函数，若能,求出，再令,则,为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球体 内积分，并应用Gauss公式，可得,（*1）,2023/10/1,39,同时有,由（*1）(*2)可得,（*2）,关于r 微分，得,（*3）,利用球面平均值的定义，（*3）可写成,（*4）,2023/10/1,40,（*4）又可改写为,
7、2023/10/1,41,通解为,令 r 0，有,代入上式，得,（*5）,关于 r 微分，,再令 r 0，有,（*6）,2023/10/1,42,接下来，求满足初值的解。对（*5）关于 t 微分，,（*7）,（*6）和（*7）相加即得,即,把,代入上式，得,2023/10/1,43,2023/10/1,44,从而有,2023/10/1,45,2023/10/1,46,Poisson公式,2023/10/1,47,四.二维波动方程,如果我们把上述问题中的初值视为,重复推导Poisson公式的过程，将会,发现所得Poisson公式中不含第三个变量。,降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。由Hadamard最早提出的。,2023/10/1,48,计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在 上的球面积分可由在圆域,上的积分得到。,2023/10/1,49,因此,2023/10/1,50,物理意义,惠更斯原理（无后效性现象）,三维情形,二维情形,波的弥散（后效现象）,
