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1、1,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数（泰勒级数）,傅里叶级数,第十一章,2,第十一章,第一节,数项级数的基本概念及性质,二、收敛级数的基本性质,一、数项级数的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,一、常数项级数的概念,引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例2.,引例3.,5,定义：,给定一个数列,将各项依,即
2、,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加,简记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散。,显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称无穷级数收敛，,并称 S 为级数的和，,记作：,7,级数与数列有着密切的关系：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角 形。如此类推在每条凸边上都做类似的操 作，我们就得到了面积有限而周长无限的 图形“Koch雪花”。,
3、机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,周长为:,面积为,第 次分叉：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积有限。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,雪花的周长无限。,12,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,13,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“拆项相消”,14,例2.判别下列级数的敛散性:,解:,所以级数(1)发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用“拆项相消”求和,15,故原级数收敛,其和为,机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束,解1:,16,故原级数收敛,其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2:,17,解:,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,发散,18,发散,发散,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,右图给出了几何级数的一个几何解释:,由三角形的相似,19,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,被去掉所有区间的总长度为,为几何级数,事实上:所有被去掉所有区间的端点都是 Cantor 集中的点.,21,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,被去掉所有正方形的总面积为,22,证明1：,级数发散。,机动 目录 上页 下页
5、 返回 结束,23,证明2：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,8项,4项,2项,2项,项,证明3：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,证明4：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,所以,故调和级数发散,26,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,二、基本性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,说明:,（1）若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,（2）若二级数都发散,不一定发散.,例如,(用反证法可证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,证明:,类似地，可以证明在
6、级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对其任意加括号，例如,34,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,收敛,发散,性质4的逆命题不成立，即发散级数加括弧 后可能变成收敛级数。,35,例7.判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,36,三、收敛的必要条件,证明,性质5（级数收敛的必要条件）:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,37,注意,1.如果级数的一般项不趋于零，则级数发散;,发散,
7、2.此结论的逆不成立。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即：一般项趋于零，级数未必收敛。,38,四、柯西收敛准则*,定理：柯西(Cauchy)收敛准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,39,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,40,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,由柯西收敛准则,41,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则由柯西收敛准则，知,42,证明：,例10.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,43,五、内容小结,一、常数项级数的基本概念和性质。,二、判断级数是否收敛的方法：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,44,作业,习题10-1(P340)1；2(3)(
8、5)(6)(9)；3(1);5;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,45,解,已知级数为几何级数，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题:,46,解:,几何级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,47,3、判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,解:(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,48,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,49,这说明原级数收敛,其和为 3.,(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,50,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,51,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,52,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,53,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,54,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,55,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
