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1、第十三章 无 穷 级 数,无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数表示、数值计算、研究函数性质、微分方程的求解等诸多方面，都有着不可替代的作用。无论对数学理论本身，还是在科学技术的应用中，无穷级数都是一个有效的工具。本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三部分组成。主要介绍无穷级数的基本概念、基本性质、敛散性的审敛法、幂级数以及将函数展开为幂级数和傅立叶级数的方法及其应用。,2.数项级数的性质,3.柯西(cauchy)收敛准则,1.数项级数的基本概念,1 数项级数的概念与性质,若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式 u1+u2+u3+un+(1)称以上表达式为(
2、常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为,1.无穷级数的概念,其中第n项un叫作级数的一般项或通项.,由上我们便得到一个数列,从形式上,=,与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。,不难知道,，以前我们学过数列的收敛,换而言之，有限个数相加为一数,无穷多个数相加是,否仍为一个数呢？,问 题,则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有,若 无极限，则称无穷级数 发散.,定义1 若级数 的部分和数列 收敛，设其极 限值为,无穷多项求和问题转化成数列sn的极限问题,注意1:,称为级数的余项，为 代替s所产生的误差.,.,注意2:,到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别,了解了级数,的收敛与
3、发散性(敛散性)是由其,部分和数列,的敛散性所决定的。,确切地说，两者敛散性是相同的,解:(1)若,则部分和,则级数发散。,则级数收敛；,当n为奇数或偶数时，sn为a或0，则 的极限不存在，级数发散.,小结:等比级数的公比，级数收敛,，级数发散.,例3 证明调和级数,发散.,证:为估计调和级数的部分和sn，我们在区间,1,+上引入函数,对于任一x属于1,+，存在自然数k，使得,，于是,对上式两端在区间k，k+1上取定积分,当,时,.显然,不存在.故原级数发散.,性质1:(收敛的必要条件),如果级数,收敛，则它的一般项 趋于零，即,2.数项级数基本性质,注1:若反之，则不一定成立。,，原级数,不
4、一定收敛。,发散，但,.,如调和级数,即,注2:收敛的必要条件常用来证明级数发散。,，则原级数,一定不收敛.,即若,性质2 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k,所得的级数 也收敛,且其和为ks.,级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变,性质3 如果级数,分别收敛于,即,两个收敛级数的和差仍为收敛级数,注1:,称为级数,与,注2:若级数,和,发散。（证明）,的和与差.,之中有一个收敛，另一个,发散，则,问：若两个都发散，情况又如何呢？（思考）,性质4 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数 的敛散性，但其和可能改变.,只是当级数收敛时，加上有限项或去掉有限项，一般会改变级数的
5、和.,性质5:收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生 的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情 况下,将其某项放在一起作为新的项,而产生的,级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.,是发散的,是收敛的.,注2:若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级 数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收 敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数 加括号后可能产生收敛的级数.,例如:,但,例4 判别级数 的敛散性。解：由于级数 是公比为 的几何级数，且 所以 收敛 由性质2可知 也收敛,例5 判别级数,的敛散性.,解:因级数,与级数,均收敛,由性质3可知,收敛.,3
6、.柯西(cauchy)收敛准则,所以对于任一给定的正数,，取自然数,则当 时，对任意自然数p,都有,成立,由柯西收敛定理，级数 收敛,2.交错级数的收敛判别法,3.绝对收敛与条件收敛,4.任意项级数的收敛判别法,1.正项级数的收敛判别法,13.2 数项级数的收敛判别法,前面所讲的常数项级数中，各项均可是正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊情况。如果级数中各项是由正数或零组成，这就称该级数为正项级数。同理也有负项级数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.,定义 设级数,为正项级数.,显然
7、,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即,1.正项级数的收敛判别法,定理 正项级数,收敛,有界.,证:“,”,收敛,收敛,有界.,有界,又,是一个单调上升数列,存在,收敛.,“,”,证明:这是一个正项级数，其部分和为:,故sn有界，所以原级数收敛.,定理1(比较判别法),设,与,是两个正项级数，,且,那么,（1）如果,收敛，则,收敛。,（2）如果,发散，则,发散。,证:设,和,分别表示,和,的部分和，,显然由,(1),收敛,有界,有界,也收敛.,(2),发散,无界,无界,也发散.,例2 判定p-级数,的敛散性.,(常数 p0),由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.,思考题：若正项级数,则下列级数的敛散性,(2),(3),收敛，,(1),例3 判断下列级数的敛散性,
