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曲线积分与路径无关的条件,四、格林公式,定理设闭区域 D 由分段光滑的曲线 围成，,函数 与 在上具有一阶连续偏,导数，则有,格林公式,其中 是D 的取正向的边界曲线,例计算,其中曲线,是由1)直线2)抛物线,3)立方抛物线都是由原点,到点,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果不同.,例,被积函数相同，起点和终点也相同，虽然路径不同但是积分结果相同.,解,应用格林公式，得,(2)当 时，作位于D内圆周,记 由和所围成,五、曲线积分与路径无关的条件,定理若函数,以及,在单连通区域G连续，下列四个断语是等价的：,与路线C无关，,1.曲线积分,即只与始点A与终点B有关；,2.在G中存在一个函数,使,4.对G内的任意光滑闭曲线,。,3.,例 计算 其中,是 的上半圆周,顺时针方向为正.,例 验证下列积分与路径无关,并求他们的值.,沿在右半平面的路线;,沿不通过原点的路线;,例,计算,的上半圆周,到点,定理若在单连通区域G内函数,是 的原函数，而,与 是G内任意两点，则,证明:,在G内任取连接点A到点B的光滑曲线,且,曲线积分,又已知是的原函数，有,则,因为跟路径无关有,原函数的求法：,例 应用曲线积分求,的原函数.,例设,求函数,例求,在上半平面的原函数,例求,的原函数,则,解 令,例,为顶点的三角形闭区域.,
