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1、,四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,曲面及其方程,第七章,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,1.定义,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,有下述关
2、系:,故所求方程为,例1.求动点到定点,轨迹方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的,表示上(下)球面.,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,解,根据题意有,所求方程为,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,二、旋转曲面,1.定义,以一条平面曲线绕其平面上的一
3、条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,播放,这条旋转曲线叫旋转曲面的母线,例如:,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,得方程,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,解,圆锥面方程,例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,播放,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直
4、角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),1.椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到,见书 P316),2.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),3.双曲面,(1
5、)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,图形,4.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q 同号),(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,(p,q 同号),曲面方程的概念,旋转曲面的概念及求法.,柱面的概念(母线、准线).,四、小结,思考题,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考
6、题解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,练 习 题,练习题答案,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转
7、一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,
8、这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线
9、并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲
10、线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,
