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1、 20.4,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,第二类曲面积分,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,设曲面 是光滑曲面，是曲面上任一定点曲面,在点 处有一条法线，它有两个可能的方向，选择,其中之一为指定的法线方向，记为 又设L是光滑,曲面 上过点 且不越过曲面边界的任意闭曲线，从,而，当动点M从 出发沿闭曲线L连续移动时，曲面,在点
2、M的法线方向也随之连续变动若M回到 时,得到的法线方向与 一致，则称光滑曲面 为双侧曲面；,若存在这样一条闭曲线，当点M沿这条闭曲线移动后,再回到点 时得到的法线方向与 相反，则称曲面,为单侧曲面,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,侧的规定,表示:,其方向用法向量指向,指定了侧的曲面叫有向曲面,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,曲面的投影问题:,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、概念的引入,实例:流向曲面一侧
3、的流量.,1.分割,则该点流速为.,法向量为.,2.求和,3.取极限,三、概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R 叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,定义.,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面上对 z,x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x,y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y,z 的曲面积分;,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,四、计算法(一投,二代,三定号),注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取
4、的侧.,解,例2：计算曲面积分其中 是长方体 的整个表面积的外侧,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,例3.设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角,计算,解:,解,六、小结,1.对坐标曲面积分的物理意义,2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点,a.曲面的侧,b.“一投,二代,三定号”,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型
5、单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,4 第二曲面积分,曲面的侧设一光滑曲面 的方程为其中 是 平面上某一区域 内的连续函数，且在 内有连续偏导数这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面S的法线方向余弦为,由假设，方向余弦是点的坐标 的连续函数，从而曲面上的法线方向是随点的位置而连续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于在曲面上全部点确定了法线方向。因此，根式全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对 而言，若选取正号，则 即法线与正向 轴的夹角 为锐角，
6、今后把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧，在下侧，法线与正向 轴的夹角 为钝角。若光滑曲面S的方程为 或，同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后侧。现在考虑更一般的用参数方程 表示,的非闭的光滑曲面，且设这些好书的 平面上某一有界区域 内有连续偏导数。此外，设 上没有重点，也就是 与S的点是一一对应的。于是曲面的法线方向余弦为其中 还要假设 上无奇点，即 在任一点不同时为零。注意 都是在 内的连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动，因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定曲面的一侧。,二、第二类曲面积分的定义 设 是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定曲面 上
7、的单位法向量，又设 是一个向量其中 都是连续函数。按照流体通过曲面流量的步骤，将 分为许多有向小块，在 内任取一点，作向量，再作和式 令，如果极限 存在，并且此极限与点 的选取无关，又与 的划分无关，则称它是,性质即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于 又可将 写为其中 分别是 在 的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上侧时有，当选取下侧时有，再如当曲面选取为右侧时有，当选取左侧有，等等。这时，第二类曲面积分可写为,若记曲面的单位法向量 为则有,三、两类曲面积分间的联系由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面积分有下列关系式或者 上面两个关系式的左端是第二类曲面积分，右端是第一类曲面积
8、分。,四、第二类曲面积分的计算计算第二类曲面积分 需视曲面 如何表示而定。1曲面 表示为若曲面 的方向选取为上侧，则 右端是一个二重积分。若曲面 的方向选取为下侧，则2 曲面 表示为 则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为,右侧则选取“+”，若 为左侧则选取“-”。3 曲面 表示为则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为前侧则选取”+“，若 为后册则选取”-“4.若曲面 表示为由二重积分变量代换知道,上面三个式子的右端都是二重积分，其符号的选取为：若 的侧为上侧，则（3）式右端的符号选取“+”，否则为“-”，若 侧为右侧，则（2）式右端的符号取“+”，否则为“-”，若 的侧为前侧，则（1）式右端的符号取“+”，否则取“-”。以上所得结果都可推广到更一般情况，即曲面 为一片一片的有限个光滑曲面所合成，这时沿曲面 的积分等于沿这有限个光滑曲面的积分之和。,例一 计算，是四面体 所成的曲面（图21-12），且设积分是沿曲面的外侧。例二 计算，其中 是球面，且设积分是沿球面外侧。例三计算积分其中 是椭球面 的上半部，且设积分沿椭球面的上侧。,
