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1、,习题课,一、曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,线面积分的计算,第十一章,一、曲线积分的计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)选择积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,解答提示:,计算,其中L为圆周,提示:利用极坐标,原式=,说明:若用参数方程计算,则,P244 3(1),P244 3(3).计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,P244 3(6).计算,其中 由平面 y=z 截球面,提示:因在 上有,故,原式=,从 z 轴正向看沿逆时针方向.
2、,(1)利用对称性及重心公式简化计算;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);,(4)利用斯托克斯公式;,(5)利用两类曲线积分的联系公式.,2.基本技巧,例1.计算,其中 为曲线,解:利用轮换对称性,有,利用重心公式知,(的重心在原点),例2.计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心、,解法1 令,则,这说明积分与路径无关,故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:,(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,思考题解答:,(1),(2),计算,其
3、中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题:P244 题 3(5);P245 题 6;11.,3(5).,用格林公式:,P245 6.,设在右半平面 x 0 内,力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,P245 11.,求力,沿有向闭曲线 所作的,其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,功,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用,公式,斯托克斯公式,二、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(
4、1)选择积分变量 代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,思 考 题,1)二重积分是哪一类积分?,答:第一类曲面积分的特例.,2)设曲面,问下列等式是否成立?,不对!对坐标的积分与 的侧有关,2.基本技巧,(1)利用对称性及重心公式简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3)两类曲面积分的转化,练习:,P244 题4(3),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧,原式=,P244 题4(2),P245 题 10 同样可利用高斯公式计算.,记半球域为,高斯公式有,计算,利用,例8.计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,
