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1、第2章 点、直线和平面的投影,我们知道，点、直线和平面是形成立体的基本几何元素，因此，在学习形体的投影之前，我们首先要掌握这些几何元素的投影规律。,本章主要内容,1.正投影的投影特性 2.点的投影规律 3.各类直线的投影特性 4.各类平面的投影特性,2.1 投影的基本知识,本节主要内容：投影法的形成与分类 正投影的投影特性,一、投影法的形成,光源投影中心光线投射线预设的平面 投影面得到的图形 投影,由投影现象抽象出投影法：,物体位置改变，投影大小也改变,思考:1、在中心投影下，投影 能否反映物体的真实 大小?,2、中心投影能否满足绘 制工程图样的要求?,投影方法,中心投影法,平行投影法,正投影
2、法,斜投影法,画透视图,画轴测图,画工程图样及正轴测图,二、投影法的分类,正投影,斜投影,中心投影法,三、正投影的基本特性,真实性,积聚性,类似性,四、投影体系,一般要从几个方向观察物体，才能表达清楚物体的形状？,单一投影面：,单一投影面不能完全确定物体的形状和大小,两面投影体系：,两个投影面有时也不能完全确定物体的形状。,三面投影体系：,V正投影面 W侧投影面 H水平投影面 V、H交线OX轴 H、W交线OY轴 V、W交线OZ轴,三面投影,2.2 点的投影,点的投影仍是点。,一、点的三面投影,空间点用大写字母表示：如A。,水平投影用相应小写字母：如a。,正面投影用相应小写字母加一撇：如a。,侧
3、面投影用相应小写字母加两撇：如a。,投影面的展开,ay,ay,a,a,O,线框省略不画,绕Z轴向右旋转90,不动,绕X轴向下旋转90,点的三面投影,o,Y相等的保证方法有：1画45度辅助线2用圆规量取,二、点的三面投影和坐标关系,水平投影 a 反映A点X和Y的坐标；正面投影 a反映A点X和Z的坐标；侧面投影a反映A点Y和Z的坐标。,x,y,z,换言之：A点的水平投影a由X、Y坐标确定；A点的下面投影a由X、Z坐标确定；A点的侧面投影a由Y、Z坐标确定。,1.aaOX轴，aaOZ轴,aax=aaz=y=Aa（A到V面的距离）,aax=aay=z=Aa（A到H面的距离）,aay=aaz=x=Aa（
4、A到W面的距离）,点的投影规律,例：已知点的两个投影，求第三投影。,解法一:,通过作45辅助线使aaz=aax,解法二:,用分规直接量取aaz=aax,三、特殊位置点的投影,1、投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。2、投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。,例：已知点的两投影，求其第三投影,f,e,d,a,A为X轴上的点；D为V面上的点；E为H面上的点；F为W面上的点。,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,B点在A点之
5、后、之左、之下。,四、两点的相对位置,a,X,Z,YW,YH,b,b,b,O,例：已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。,X,Z,YW,YH,O,b,b,b,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,被挡住的投影加(),a,a,c,a（c）,重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。判断重影点的可见性：左遮右，前遮后，上遮下,2.3 直线的投影,一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。,一、直线的投影,根据两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,a,a,b,b,b,a
6、,直线垂直于投影面投影重合为一点,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=AB.cos,B,A,a（m）（b）,二、直线的投影特性,类 似 性,显 实 性,积 聚 性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面),正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,垂直于某一投影面,直线的投影特性取决于其与三个投影面间的相对位置。,三、各类直线及其投影特性,投影面平行线：两平对一斜,水平线,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,b,a,a,a,b,b,正平线
7、,b,a,a,b,a,b,实长,侧平线,b,a,a,b,b,a,实长,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,投影面平行线的投影特性：,投影面垂直线：两垂对一点,铅垂线,a,b,a(b),a,b,Z,X,O,YH,YW,X,正垂线,c(d),c,d,d,c,Z,O,YH,YW,侧垂线,e,f,e,f,e(f),Z,O,YH,YW,2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,1.在其垂直的投影面 上，投影积聚成一点。,投影面垂直线的投影特性:,一般位置直线：三斜相对应,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角
8、不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性:,Z,X,O,Y,2.4 直线与点及两直线的相对位置,一、直线与点的相对位置：1、点在直线上 2、点在直线外,直线上的点具有两个特性：,1、从属性 点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2、定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C:C B=a c:c b=ac:cb=ac:c b,A,B,b,b,a,a,X,O,c,c,C,例：判断点C是否在线段AB上。,c,a,b,c,a,b,a,b,c,a,b,c,在
9、,不在,a,b,a,a,b,c,b,c,不在,X,X,Z,X,O,YH,YW,例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：（应用从属性）,解法二：（应用定比性）,a,b,X,Z,O,X,YH,YW,例：已知、三点分别在三棱锥的SA、AB、SC棱线上，求此三点的水平投影和侧面投影，然后将它们的同面投影用直线连接起来，并判别A、B、C直线的空间位置。,A是 线,B是 线,C是 线。,正平,侧平,任意,a,b,c,a,b,c,1,2,3,c,a,b,s,s,s,1,2,3,1,2,3,二、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。,两直线相交,若空间两直线相交，则
10、其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,X,两直线交叉,同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一点的投影规律。“交点”是两直线上的一 对重影点的投影。同面投影也可能平行，但只有一面或两面投影平行，并非三面投影同时平行。,2.5 平面的投影,一般情况下，平面的投影仍然为平面，特殊情况为一条直线。,一、平面的表示法,不共线三个点,a,b,c,a,b,c,两平行直线,a,b,c,a,b,c,两相交直线,c,c,c,X,X,X,平面图形,c,a,b,c,a,b,X,迹线表示平面,正面迹线
11、PV 水平迹线PH 侧面迹线PW,二、平面的投影特性,平面平行投影面投影就把实形现,平面垂直投影面投影积聚成直线,平面倾斜投影面投影类似原平面,显实性,类似性,积聚性,三、各类平面的投影特性,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,平面的投影特性取决于其与三个投影面间的相对位置。,投影面的垂直面：两框对一线,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。,c,c,a,b,c,a,b,b,a,积聚性,铅垂面,
12、Z,类似性,类似性,X,O,YH,YW,投影面的平行面：两线对一框,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,a,b,c,a,b,c,a,b,c,积聚性,积聚性,显实性,水平面,Z,X,O,YH,YW,一般位置平面：三框相对应,投影特性：三个投影都类似。,a,b,c,a,c,b,a,b,c,Z,X,O,YH,YW,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面投影。,a,c,b,c,a,a,b,c,b,思考：此题有几个解？,Z,X,O,YH,YW,2.6 平面上的直线和点,一、平面上
13、的直线,几何条件：,1、直线通过平面上的两个已知点，则此直线必在该平面内。,2、直线通过平面上一点，并且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,平面上的投影面平行线,一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。,a,b,c,b,c,a,d,解法一：,解法二：,有无数解！,a,b,c,b,c,a,X,X,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b,唯一解！,二、平面上的点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点
14、的位置。,求作方法：,先在面上取线,几何条件：,点在平面内的一条直线上。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,b,a,c,a,k,b,c,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,a,b,c,a,b,k,c,X,X,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,解法一：,解法二：,c,a,d,a,d,b,c,X,X,例3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。,d,e,10,10,b,c,X,b,c,a,a,O,例4：根据主、左视图完成俯视图。又知属于该体前表面的点N的一面投影，求另两面的投影。
15、,2.7 直线与平面及两平面的交,一、直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,(1)求直线与平面的交点。,(2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,我们一般只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,二、两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方向。,通常只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,h,X,c,本章考核重点：1、空间点的相对位置及可见性判断 2、各类直线的投影特性 3、各类平面的投影特性 4、在平面内确定直线和点本章可出考核题型：1、填空题 2、选择题,谢 谢 观 看！,
