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1、一、极限的四则运算法则,二、复合函数的极限运算法则,第五节 极限运算法则,第一章 函数与极限,第一章,一、极限的四则运算法则,证:因,则有,(其中,为无穷小),于是，,又由无穷小性质知,也是无穷小,再利用函数极限与无穷小的关系定理,得证.,定理1.,推论:,利用保号性定理的推论证明.,注:定理 1（极限的加减法）可推广到有限个函数相加、减的情形.,分析:令,定理2.,注:定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(m 为正整数),例1.设 n 次多项式,试证,证:,(极限的乘法，课后自证),定理3.,且 B0,则有,证:因,则,其中,为无穷小.,令,无穷
2、小,有界,因此 为无穷小,从而,极限的除法,定理4.,注:,因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由,前面的各定理直接得出结论.,例2.,证:,注:,不能直接用商的运算法则.,例3.,例4.,解:x=1 时,分母=0,分子0,但因,例5.,解:,x 时,分子.,分子分母同除以,则,分母,原式,注:当 x 时通常将分子、分母同除以 x 的 最高次幂.,一般有如下结果：,二、复合函数的极限运算法则,定理5.设 f g(x)由函数 f(u)和 u=g(x)复合而成，,证:,故,因此式成立.,注：定理中若,则类似可得,相当于作一个变量代换！,定理5.设 f g(x)由函数 f(u)和 u=g(x)复合而成，,例6.,解:,已知,故 原式=,原函数可看作由,例7.,解:方法 1,则,令,故 原式,方法 2,小结,1.极限运算法则,(1)极限四则运算法则(无穷小运算法则),(2)复合函数极限运算法则,注意使用条件!,2.求函数极限的方法,a.有理分式函数极限求法,用代入法，分母不为 0直接代入。分母为 0 时，若分子也为 0，则约去公因子，否则就“上下交换”得到极限为.,分子分母同时除以最高次幂,c.复合函数极限求法,设中间变量,b.无理分式函数极限求法,变量代换,分子(母)有理化,课堂练习,1.,2.,3.,解法 1,原式=,解法 2,原式=,4.,解:,则,故,因此,
