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1、极限的求法总结,简介：求极限方法举例，列举21种 求极限的方法和相关问题,1.代入法求极限,多项式函数与分式函数(分母不为0)用代入法求极限;,方法总结：,商的法则(代入法),2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,解,例4,(消去零因子法),3.消去零因子法,例,解,(无穷小因子分出法),4.无穷小因子分出法求极限,小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.,练习1,练习2,练习3,练习4,例,解,先变形再求极限.,5.先变形再求极限(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等),对于求无穷多项的极限和不符
2、合四则运算的极限，先通过变形在求极限;,方法总结：,2005年数学三考研试题（第三大题15小题8分）,例,解,6.利用无穷小运算性质求极限,例,解,左右极限存在且相等,7.利用左右极限求分段函数极限,例 求极限,8.分子（母）有理化求极限,【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。,(分子分母有理化消去零因子),9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限,说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法是都换成最大的和最小的。,例,解,由夹逼定理得,说明：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算，这道题是不可以的。,解：当,时，（积分不容易计算）,故,因为,所以,例,10.用等价无
3、穷小量代换求极限,例：求极限,解,练习：,2005年数学三考研试题(第一大题填空题第1小题4分),2009年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题4分),2008年数学三考研试题(第三大题第15题10分),11.应用两个重要极限求极限,两个重要极限是,和,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限,例：求极限,【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑,，最后凑指数部分。,解,例,解,练习 1,2,，求,2012年数学三考研试题(第二答题填空题第9小题),9.,12.应用数列的单调有界收敛准则求极限,例 设,，,，,（1）证明,存在；（2）求,【分析】一
4、般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。,解:(1),即,有下界，,由此得,既,单调下降，因此,存在。,（2）设,，由（1）,对递推公式两端取极限，得,解得,（舍去负值），所以,13.用对数恒等式 求极限,例：求极限,解法1:,解法2:原式,解法3:,注1：对于,型未定式,的极限，也可用公式,因为,注2：对于,型未定式,的极限也可以利用第,二个重要极限。,例：求极限,解法1:原式,解法2:原式,2011年数学一考研试题(第三答题解答题第15题10分),2013年数学二考研试题(第二答题填空题第9小题),14.将数列极限转化成函数极限求解,【说明】这是,洛必达
5、法则，若直接求解有一定难度，若转化成函数极限，可通过13提供的方法结合洛必达法则求解。,例：求极限,形式的极限，由于数列极限不能使用,【解】考虑辅助极限,所以,根据:数学分析里面的归结原则，又称为海涅定理，意思就是函数极限可以用数列极限刻画。,15.求极限式中的常数,2010年数学三考研试题(第三答题解答题第1题4分),16.利用导数的定义求极限,2013年数学一考研试题(第二答题填空题第9小题),答案,2013年数学一考研试题(第一答题选择题第小题),答案 1.,2013年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题),答案-2,2013年数学三考研试题(第一大题选择题第小题),答案 1.,201
6、3年数学二考研试题(第一大题选择题第2小题),17.应用洛必达法则求极限,【说明】,或,型的极限，可通过洛必达法则来求。,例：求极限,【注】许多变上限函数的积分表示的极限，常用洛必达法则求解,例：设函数,连续，且,，求极限,【解】由于,于是，,2011年数学三考研试题(第三大题解答题第15题10分),2012年数学三考研试题(第三大题解答题第15小题10分),18.应用定积分的定义求极限,【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分来计算，是把,看成,定积分。,例：求极限,解：原式,2012年数学二考研试题(第二答题填空题第10小题),练习：用定积分表示下列极限:,解:,练习：,练习：,19.利用中值定理求极限,（1）.利用微分中值定理求极限,（2）利用积分中值定理求极限,简单积分中值定理,积分中值定理,20.应用泰勒公式求极限,例：求极限,解：,例：求极限,解:,例：设,，求,解：错误做法,（方法1）,，因此,（方法2）,因此,练习:,21.应用级数的收敛性求极限,例,解,练习:,
