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1、2.2 极限的性质与运算法则,一、性质,性质1(唯一性),若极限lim f(x)存在，则极限唯一。,注,此定理对数列也成立。,性质2(局部有界性),注,1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范,围确定。,2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由,具体函数确定。,性质3(局部保号性),性质4,注,性质5,二、四则运算法则,定理,推论,定理 如果lim f与lim g存在，则有 lim(fg)=lim flim g。,因此，在上述时刻以后，恒有,这就证明了lim(fg)=AB，即lim(fg)=lim flim g。,总有那么一个时刻，,在此时刻以后，恒有,|(fg)-(AB)|,|
2、f-A|+|g-B|,证明：设limf=A，limg=B，,则对于任意给定的e 0，,注,1、应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为,零、偶次根号下非负等；,2、定理中C、n、都是与自变量无关的常量。,如果lim f与lim g存在，则 lim(fg)=lim flim g；lim fg=lim flim g,下页,=2。,例1,解：,讨论：,提示：,例2,答案,如果lim f与lim g存在且lim g 0,则,例2,解：,例3,解：,=,(,B,0),。,如果lim f与lim g存在且lim g 0，则。,例4,解：,=,(,B,0),。,讨论：,提示：,当Q(x0)=P(x0)=0时
3、，分子分母约去(x-x0)。,如果lim f与lim g存在且lim g 0，则。,例5,解：,解：将分子分母同除以n 2，得,解：将分子分母同除以x 4，得,例6,例7,解：将分子分母同除以x 3，得,例8,讨论：,证明,原式,由,即得所证.,证,例,例9,解：,解,初等展开,解,有理化,例12,求 a,b 的值,解,例13,解 当 时，的分母都趋于零，原式 出现“”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。,原式=,（消去零因子）,14.求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,15.试确定常数 a,b 使,16.试确定常数 a 使,解:,令,则,故,因此,例17.确定常数 a,b,使,解:,原式,故,于是,而,下列各题的解题过程是否有错误？如何改正错误？,解题评析：,下页,=,结束,本周作业一：,本周作业二：,求,答案 19/3,6,9,(答案 1),11.已知,求 k 的值,12.已知 求a,b的值。,
