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1、课件,1,第十二章 平稳过程,平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛.,第一节 严平稳过程,一定义1 随机过程，如果对任意 维,分布函数,任意实数,满足:,则称 为严平稳过程,或称狭义平稳过程.,1,课件,2,严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布,与参数的原点选取无关,二.严平稳过程的一维,二维分布函数的性质,特殊地,取,一维分布函数,二维分布函数,2,课件,3,上式表明:严平稳过程的一维分布函数 不依赖,于参数,二维分布函数 仅依赖于参数间距,而与 本身无关.,三.(1)离散状态随机过程,严平稳性条件,3,课件,4,(2)连续状态随机过程,严平稳性条件,一维概率密度函数,二维
2、概率密度函数,4,课件,5,四.严平稳过程的数字特征的性质,设 为连续状态严平稳过程,(常数);,(常数);,(常数);,5,课件,6,(仅依赖于,而不依赖于);,于是得到,6,课件,7,定理一 设 是严平稳过程,如果过程的二,阶矩存在,那么,(1),均为常数,与参数 无关;,(2),仅依赖于参数间距,而不依赖于.,7,课件,8,数字特征的这一性质也称为平稳性.,定理一的逆定理是不成立的.,例1(Bernoulli序列)独立重复地进行某项试验,每次,试验成功的概率为,失败的概率为.,表示第 次试验成功的次数,8,(即，分布函数不变),课件,9,例2 设 是相互独立的标准正态随机变量,试验证随机
3、过程 不是严平稳过程,的数字特征也不具有平稳性.,9,课件,10,第二节 广义平稳过程,(一)广义平稳过程的定义,定义2 设随机过程,对于任意,满足:,(1)存在且有限;,(2)是常数;,(3)仅依赖于,而与 无关,则称 为广义平稳过程,或称宽平稳过程,简称平稳过程.,10,课件,11,参数集 为整数集或可列集的平稳过程,又称为平稳序列,或称平稳时间序列.,(二)广义平稳过程的数字特征的性质,设 是平稳过程,则,(1)仅依赖于,而与 无关;,(2)是常数;,11,课件,12,(5),(仅依赖于,而与 无关)。,问题:,12,课件,13,三.平稳过程的例子,随机相位正弦 波,式中 和,验证 是平
4、稳过程.,例1,13,课件,14,和 都是随机变量,且,验证 是平稳过程.,14,课件,15,例4 通讯系统中的加密序列,则加密序列 是平稳序列.,15,课件,16,16,课件,17,例5 随机电报信号,电报信号用电流 或 给出,任意时刻 的电报,信号 为 或 的概率各为.又以 表示,内信号变化的次数,已知 是一泊松,过程,则 是一个平稳过程.,泊松过程的定义,17,课件,18,18,课件,19,19,课件,20,20,课件,21,解,21,课件,22,解,22,课件,23,四.严平稳过程与广义平稳过程的关系,推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.,1.广义平稳过程,不一定是严平稳过
5、程.,2.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定是广义平稳过程,23,课件,24,五.两个平稳过程的关系,下文中广义平稳过程简称平稳过程.,定义3 设 和 是两个平稳过程,如果互相关,的函数,则称 与 平稳相关,或称其为,联合平稳的.此时,24,课件,25,定义4,称为标准互协方差函数.,特别当 时,称两个平稳过程互不相关.,(均为 常数).,25,课件,26,第三节 正态平稳过程,一.正态过程,正态随机变量复习：,一维正态随机变量,概率密度,二维正态随机变量,课件,27,其中,协方差矩阵,课件,28,定义5 如果随机过程,对任意正整数,服从正态分布,则称 为正态过程,又称高斯(Gauss)过程.,独立正态过程:如果 是正态过程,独立正态过程.,课件,29,正态序列:正态过程,如果 是可列集,是正态序列.,二.正态平稳过程,设 是正态过程,服从正态分布,则,必存在,即二阶矩存在.,定义 如果正态过程 又是(广义)平稳过程,则,课件,30,称 为正态平稳过程.,定理二：设 是正态过程.,则 为严平稳过程 为广义平稳过程.,课件,31,例1 设正态过程 的均值函数,自相关函数,试写出过程的一维、二维概率密度函数.,解,课件,32,课件,33,例2 设 是正态平稳过程,且,令,证明 是平稳过程.,课件,34,作 业,习题十二 1，3，4，5，6,34,
