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1、1,多面体题根 解正方体,一、正方体高考十年二、正四面体与正方体三、正方体成为十年大难题四、解正方体五、解正四面体,2,一、正方体高考十年,十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体.其中：（1）直接考正方体的题目占了三分之一；（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.,正四面体与正方体例话,3,解 析,外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝
2、不能是它的(C)约6倍或(D)约9倍，否定(C)，(D)；也不可能与其近似相等，否定(A)，正确答案只能是(B).,（1995年）正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为,考题 1（正方体与其外接球）,4,考题 2（正方体中的线面关系）,小问题很多，但都不难.熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答.如解答（1），只要知道棱AD与后侧面垂直就够了.,说 明,（1997年）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明ADD1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED 面A1FD1；（4）设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积.,
3、5,考题 3（正方体的侧面展开图）,考查空间想象能力.如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题、为假，而命题、为真，答案是C.,解 析,（2001年）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A）（B）（C）（D）,6,（2002年）在下列四个正方体中，能得出ABCD的是,考题4（正方体中主要线段的关系）,射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A.平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（A）.,解 析,7,（2003年）棱长为a的正方体中，
4、连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为,考题 5（正方体与正八面体）,解 析,将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的，再乘 得.答案选C.,8,考题 6（正方体中的三角形）,解 析,在正方体上任选3个顶点连成三角形可得 个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C.,9,在三棱锥OABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是,考题 7 2006年四川卷第13题正方体的一“角”,如图，在长方体ABCDA1B1C1
5、D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证：MN面ADD1A1；（2）求二面角PAED的大小；（3）求三棱锥PDEN的体积.,考题8 2006年四川卷第19题两正方体的“并”,P,10,如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.()试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；()在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论.,分析：熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第()问，可心算出结果为m=1/3；对
6、第()问，可猜出这个Q点在O1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第()小题成了大题，第()小题成了大难题.,考题9（2006年湖北卷第18题）,11,考题 10（2006年安徽卷第16题）,多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7以上结论正确的为_.（写出所有正确结论的编号）,12,二、正四面体与正方体,从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位.在实践中，正方体是最常见的
7、多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”.我们在思考：（1）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出正三棱锥？（4）正方体如何演变出斜三棱锥？,正四面体与正方体例话,13,考 题 1（正四面体化作正方体解）,说 明,本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题.此时的解法也就沦为拙解.,14,拙解 硬碰正四面体,15,联想、的关系,正四面体的棱长为，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条“面对角线”围成？,则三棱锥BA1C1D是棱长为 的正四面体.于是正四面体问题可
8、化归为对应的正方体解决.,为此，在棱长为1的正方体BD1中，（1）过同一顶点B作3条面对角线BA1、BC1、BD；,（2）将顶点A1，C1，D依次首尾连结.,16,妙解 从正方体中变出正四面体,以 长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为，则其外接球的半径为，则其外接球的表面积为S=4R2=4()23以 为棱长的正四方体B-A1C1D与以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3.答案为A.,17,寻根 正方体割出三棱锥,在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为
9、1/3.这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有-12=58个.至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.,18,按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间.所以，十年来立几考题哪怕是解答题也没有出现在压轴题中.从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分.然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！,三、正方体成为十年大难题,正四面体与正方体例话,19,命题 将正方体一分为二,2003年全国卷第18题，天津卷第1
10、8题，河南卷第19题等，是当年数学卷的大难题.其难度，超过了当年的压轴题.在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱.图中的点E正是正方体的中心.,20,考题,如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90.侧棱AA1，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；()求点A1到平面AED的距离.,21,解 析,（转下页）,考场反馈：按出题人给出的图形（右上），答题时无法作辅助线.,22,（转下页）,解 析（续上）,考场反馈：按出题人给出
11、的这种解析，无法在原图上显示.,23,解 析（续上）,阅卷人说：在见到的答卷中，几乎没有看到这种“标准答案”.,24,难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.,本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！,25,难题（0318）的题图探究,正方体立体图常见的画法有两种：,（1）斜二测法（图右）此法的缺点：A1、B、C 三点“共线”导致“三线”重合,（2）正等测法（图右）此法的缺点：A、C、C1、A1“共线”导致“五线”重合,难题的图近乎第二种画法（图右）：将正方体的对角面置于正前面.,26,四、解正方体,正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单.像数学中其他板
12、块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！,正四面体与正方体例话,27,6,8,12,28,7,线,面,点,射影,垂足,6,对角,6,中心,根3,关于正方体 你已经知道了多少？,关于正方体 还有许多许多！例如，8个顶点中，4顶共面的有（）个，4顶异面的（）个。正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。,28,五、解正四面体,统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了.其实
13、，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！,正四面体与正方体例话,29,正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为底面正三角形高为（）；底面正三角形的外半径为（）；正三角形的内半径为（）；正四面体的斜高为（）；斜高在底面上的射影为（）；斜面与底面成角余弦值（）；正四面体高为（）；外接球半径为（）；内切球半径为（）.,一句话小结 正四面体与正方体的对应量只相差一个系数：（或）,30,（2006
14、年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A.B.C.D.,2,2,妙解（找老子解儿子）,答案为C,31,拙解（就儿子解儿子）,如图所示：即求三角形PCD的面积.因为CD=2，四面体A-BCD是正三棱锥，则PD=PC，三角形PCD是等腰三角形.过P作CD的中线交CD于Q，则球心在PQ上.连BQ，AQ，则AQ=BQ,因为O在PQ上，则PQ是线段AB的中垂线.即Q是AB的中点.,32,（1）由正方体变出正四面体；（2）由正方体变出正八面体；（3）由正方体变出正棱柱、直棱柱；（4）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；（5）由正方体变出斜三棱锥：DA1B1C1,小结 正方体是多面的“题根”,正四面体与正方体例话,33,题生根 根生题 题根、根题不分离 有根无题一光杆 有题无根一潭泥,尾 声,正四面体与正方体例话,
