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1、第一章 曲线运动,71 生活中的圆周运动的习题课,用绳系着的小球在竖直平面内作圆周运动，小球的质量为m，半径为R。求：当小球在最低点的速度为v时，小球受到绳子的作用 力？小球处于什么状态？当小球在最高点的速度为v时，小球受到绳子的作用 力？小球处于什么状态？存在临界速度吗？,一、绳球模型,绳球模型：绳只能拉不能压,小球沿竖直光滑轨道内壁做圆周运动，小球的质量为m，半径为R。求：当小球在最低点的速度为v时，小球受到轨道的力？小球处于什么状态？当小球在最高点的速度为v时，小球受到轨道的力？小球处于什么状态？存在临界速度吗？,轨球模型：轨只能压不能拉,二、轨球模型,小球用轻杆连着在竖直平面内作圆周运
2、动，小球的质量为m，半径为R。求：当小球在最低点的速度为v时，小球受到杆的力？小球处于什么状态？当小球在最高点的速度为v时，小球受到杆的力？小球处于什么状态？存在临界速度吗？,杆球模型：杆能压也能拉,三、杆球模型,小球在竖直放置的光滑圆管内作圆周运动，小球的质量为m，半径为R。求：当小球在最低点的速度为v时，小球受到管的力？小 球处于什么状态？当小球在最高点的速度为v时，小球受到管的力？小 球处于什么状态？存在临界速度吗？,管球模型：管能外压也能内压,四、管球模型,【例5】如图5-7-11所示，质量m=2.0104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m
3、.如果桥面承受的压力不得超过3.0105 N，则：（1）汽车允许的最大速率是多少？（2）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？（g取10 m/s2）,【例6】.如图所示，一个人用长为l=1m，只能承受Tm=46N拉力的绳子，拴着一质量为m=1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动。已知圆心O离地面高h=6m，转动中小球在最低点时绳子断了。（1）绳子断时小球运动的角速度多大？（2）绳子断后，小球落点到抛出点的水平距离是多大？,圆周运动与其它运动组合运动,7种圆周模型：1.(类）行星模型2.（类）圆锥摆模型3.绳球模型4.轨球模型5.杆球模型6.管球模型7.n、Z模型注意：1.实验演示 2.恰
4、好圆运动、拉着、压着、推着、静平衡、向心平抛（离心平抛）,【例5】一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴间的夹角=300，如图所示。一长为l的轻绳，一端固定在圆锥体的定点O处，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕锥体做水平的匀速圆周运动。求：,四、n、z模型,解题感悟,解决竖直平面内的变速圆周运动问题的关键是掌握两个圆周运动模型和两个圆周运动临界问题：1.两种圆周运动模型：,（三）考点应用，精讲精析,典型问题三：曲线运动中的动力学问题（四）-竖直平面内的变速圆周运动,第四章 曲线运动和万有引力3圆周运动,最低点圆周运动模型,最高点圆周运动模型,解题感悟,2.两个圆周运
5、动临界问题,（三）考点应用，精讲精析,典型问题三：曲线运动中的动力学问题（四）-竖直平面内的变速圆周运动,第四章 曲线运动和万有引力3圆周运动,绳拉球（轨压球）模型的临界问题,解题感悟,2.两个圆周运动临界问题,（三）考点应用，精讲精析,典型问题三：曲线运动中的动力学问题（四）-竖直平面内的变速圆周运动,第四章 曲线运动和万有引力3圆周运动,杆连球（管通球）模型的临界问题,【例1】为了防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”的现象，可以：()A、增大汽车转弯时的速度 B、减小汽车转弯时的速度 C、增大汽车与路面间的摩擦 D、减小汽车与路面间的摩擦,BD,【例2】路基略倾斜,火车在拐弯时,具有向心
6、力的作用,对于向心力的分析,正确的是（）A.由于火车本身作用而产生了向心力B.主要是由于内外轨的高度差的作用,车身略有倾斜,车身所受重力的分力产生了向心力C.火车在拐弯时的速率小于规定速率时,内轨将给火车 侧压力,侧压力就是向心力D.火车在拐弯时的速率大于规定速率时,外轨将给火车 侧压力,侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分,CD,【例3】下列说法正确的是()A、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失时，将沿圆周半径方向离开圆心B、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失时，将沿圆周切线方向离开圆心C、作匀速圆周运动的物体，它自己会产生一个向心力，维持其作圆周运动D、作离心运动的物体，是因
7、为受到离心力作用的缘故,B,【例4】以下属于离心现象应用的是（）A、水平抛出去的物体，做平抛运动B、链球运动员加速旋转到一定的速度后将链球抛开C、离心干燥器使衣物干燥D、锤头松了，将锤柄在石头上磕风下就可以把柄安牢,BC,【例5】下列说法中错误的有（）A、提高洗衣机脱水筒的转速，可以使衣服甩得更干B、转动带有雨水的雨伞，水滴将沿圆周半径方向离 开圆心C、为了防止发生事故，高速转动的砂轮、飞轮等不 能超过允许的最大转速D、离心水泵利用了离心运动的原理,B,练习3,如图为过山车轨道的一部分，若要使车厢能安全通过圆形轨道，车厢应从多高处释放？不计一切摩擦与阻力。,R,h？,讨论,3、若汽车沿圆弧桥面
8、从顶端下滑，分析汽车的运动情况。,分析：由物体重力及支持力沿半径方向的合外力提供向心力，若车速度过快，车会离开桥面做斜下抛运动,即将离开时FN=0,想一想：若一个人骑自行车以速度V=5m/s转弯，此过程可以看作匀速圆周运动。已知此处路面与轮胎之间的动摩擦因数为0.5，这个人转弯的半径R最小是多大？（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）,课堂互动讲练,下列关于离心现象的说法正确的是（）A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动C.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都,突然消失后，物体将沿切线做匀速直线运动D.做
9、匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动【解析】向心力是根据效果命名的，做匀速圆周运动的物体所需要的向心力是它所受的某个力或几个力的合力提供的，因此，它并不受向心力的作用.它之所以产生离心现象是由于F合=Fnm2r，,故A错.物体在做匀速圆周运动时，若它所受的力突然都消失，根据牛顿第一定律，它从这时起做匀速直线运动，故C正确，B、D错.【答案】C【点评】（1）物体提供的力不足以提供向心力时做离心运动；（2）离心后物体可以做直线运动，也可以做曲线运动.,1.（2010年厦门高一检测）如图5-7-6所示，A、B、C三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为，已知A的质量为
10、2m，B、C的质量均为m，A、B,图5-7-6,离轴距离均为R，C距离轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时（）A.C物的向心加速度最大B.B物的摩擦力最小C.当圆台转速增加时，C比A先滑动D.当圆台转速增加时，B比A先滑动解析：选ABC.由an=2r知A项对；由Fn=m2r及mAmB知B项对；由mg=m2r知，C项对D项错.,有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m.（g取10 m/s2）（1）试计算铁轨受到的侧压力；（2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，,我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度的正切值.【思路点
11、拨】（1）问中,外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力;（2）问中,重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力.,【解析】（1）外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力,所以有Fn=m（v2/r）=(105202)/400 N=105 N.由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N.,图5-7-7,（2）火车过弯道,重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力,如图5-7-7所示,则mgtan=m(v2/r)由此可得tan=v2/rg=0.1.【答案】（1）105 N（2）0.1【点评】解决这类题目首先要明确物体转弯做的是圆周运动，其次要找准物体做圆周运动的平面及圆心
12、，理解向心力的来源是物体所受合力.,即A受到杆的支持力为16 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力16 N.（2）代入数据v=4 m/s,可得F=m（v2/L-g）=2（42/0.5-10）N=44 N,即A受到杆的拉力为44 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力44 N.【答案】见解析,【点评】A经过最高点时，杆对A的弹力必沿杆的方向，但它可以给A向下的拉力，也可以给A向上的支持力.在事先不易判断该力是向上还是向下的情况下,可先采用假设法:例如先假设杆向下拉A,若求解结果为正值,说明假设方向正确;若求解结果为负值,说明实际的弹力方向与假设方向相反.,3.一轻杆下端固定一质量为
13、M的小球,上端连在轴上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,则可知（）A.小球在最高点对杆的作用力不断增大B.小球在最高点对杆的作用力先减小后增大,C.小球在最高点对杆的作用力不断减小D.小球在最高点对杆的作用力先增大后减小解析：选B.杆既能支撑小球,又能拉小球,也就是说,杆在最高点对小球的弹力既可能向上又可能向下,因此,小球在最高点的速度可以为零.当最,高点杆对小球的作用力为零时,重力提供向心力,由mg=mv02/R可知临界速度v0=.随着最低点的瞬时速度从v0不断增大，小球对杆的作用力先是方向向
14、下减小到零，然后方向向上逐渐增大.,（2010年徐州高一检测）如图5-7-9所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度做,图5-7-9,匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的最大压力和最小压力的数值之差为多少？【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点时受杆的拉力F1及重力作用，如图甲所示，此时F1mg.当小铁块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力F2），如图乙所示.,【解析】对铁块，由牛顿第二定律得：甲：F1-mg=m2r 乙：F2+mg=m2r(或mg-F2=m2r)由两式得：F1-F2=2m2r.,图5
15、-7-9,由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为2m2r.铁块转至最高点时，电动机对地面的压力FN最小，此时FN=Mg-F2，其中M为电动机的质量.电动机对地面的最大压力为FN=Mg+F1，故FN-FN=F1-F2=2m2r.,【答案】2m2r【点评】（1）由解题结果知，所求压力差与电动机质量无关.（2）当铁块转至最高点时，铁块受杆的作用力的方向也可能向上，但两种情况下的解题结果是相同的.,FN-mg=mv2/r，代入数据解得v=10 m/s.（2）汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得：mg-FN=mv2/r,代入数据得FN=105 N.由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力是
16、105N.答案：（1）10 m/s（2）105 N,例1、铁路转弯处的圆弧半径是300m，轨距是1435mm。规定火车通过这里的速度是72km/h，内外轨的高度差应该是多大才能使外轨不受轮缘的挤压？保持内外轨的这个高度差，如果车的速度大于或小于72km/h，会分别发生什么现象？说明理由。,解：火车在转弯时所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车支持力的合力提供，如图所示：,课堂练习,1、质量 m=100t的火车在轨道上行驶,火车内外轨连线与水平面夹角为370，弯道半径R=30m。（南）(1)当火车的速度v1=10m/s时,轨道何处受侧压力?方向如何?（中）(2)当火车的速度v2=15m/s时,
17、轨道何处受侧压力?方向如何?（北）(3)当火车的速度v3=20m/s时,轨道何处受侧压力?方向如何?,实例研究1火车过弯,火车以半径R=300 m在水平轨道上转弯，火车质量为8105kg，速度为30m/s。铁轨与轮之间的动摩擦因数=0.25。,设向心力由轨道指向圆心的静摩擦力提供,代入数据可得：Ff=2.4106N,但轨道提供的静摩擦力最大值：Ff静m=mg=1.96106N,“供需”不平衡，如何解决？,练习 用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列两种情况下球对管壁的
18、作用力.取g=10m/s2(1)A的速率为1.0m/s(2)A的速率为4.0m/s,解：,先求出杆的弹力为0 的速率v0,mg=mv02/l,v02=gl=5,v0=2.25 m/s,(1)v1=1m/s v0 球应受到内壁向上的支持力N1，受力如图示：,mg-N1=mv12/l,得 N1=1.6 N,(2)v2=4m/s v0 球应受到外壁向下的支持力N2如图示：,则 mg+N2=mv22/l,得 N2=4.4 N,由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别 为(1)对内壁1.6N向下的压力(2)对外壁4.4N向上的压力.,练习5、如图示，质量为M的电动机始终静止于地面，其飞轮上固定一质量为m的物
19、体，物体距轮轴为r，为使电动机不至于离开地面，其飞轮转动的角速度应如何？,解：当小物体转到最高点时，,对底座,受到重力Mg和物体对底座的拉力T,为使电动机不至于离开地面，必须 TMg,对物体,受到重力mg和底座对物体的拉力T,由圆周运动规律有 mg+T=m r2,即 m r2(M+m)g,1.一只半球壳半径为R，截口水平，现有一物体A，质量为m，位于半球面内侧，随半球面绕对称轴的转动面作圆周运动，如图所示。若A与球面间摩擦因数为，则物体刚好能贴在截口附近，这时角速度多大？若不考虑摩擦，则当球壳以上述角速度转动时，物体位于球面内侧的何处？,mg,f,N,f=mg,N=m2R,f=N,mg/m2R
20、,设N与竖直方向夹角为,m,m,2.如图，一光滑圆锥体固定在水平面上，OCAB，AOC=30o，一条不计质量、长为L的绳(LOA)一端固定在顶点O，另一端拴一质量为m的质点，质点以速度v绕圆锥体的轴线OC在水平面内作匀速圆周运动。,当v=,(2)当v=,时，求出绳对物体的拉力；,时，求出绳对物体的拉力。,5、A、B两个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，A的质量为m，B的质量为2m，A离轴为R/2，B离轴为R，则当圆台旋转时：(设A、B都没有滑动，如下图所示)()A.B的向心加速度是A的向心加速度的两倍B.B的静摩擦力是A的静摩擦力的两倍C.当圆台转速增加时，A比B先滑动D.当圆台转速增加时，
21、B比A先滑动,mg,N,fA,6、如图所示，细绳一端系着质量为M=0.6Kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3Kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动。问角速度在什么范围内m处于静止状态？(g取10m/s2),解析：A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O对于B，T=mg对于A，所以,7、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的
22、水平面内做匀速圆周运动，则()A.球A的线速度一定大于球B的线速度B.球A的角速度一定小于球B的角速度C.球A的运动周期一定小于球B的运动周期D.球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力,mg,N,F,8、如图所示，在质量为M的电动机上，装有质量为的偏心轮，偏心轮转动的角速度为，当偏心轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离多大?在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大?,解析设偏心轮的重心距转轴,偏心轮等效为长为的细杆固定质量为(轮的质量)的质点,绕转轴转动，轮的重心在正上方时,对电动机：F=M,当偏心轮的重心转到最低点时,电动机对地面的压力最大.对偏心轮有
23、:F-mg=m2r 对电动机,设它所受支持力为N，N=F+Mg 由、解得N=2(M+m)g,对偏心轮：F+mg=m2r 由得偏心轮重心到转轴的距离为:r=(M+m)g/(m2),二.双体转动模型,例1.如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的小球A和B，球心到轴O的距离分别为O=0.8m，BO=0.2m。已知A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B球对杆的作用力的大小和方向？,三.圆周运动中的临界问题 1.滑动与否的临界问题：例2.如图所示，细绳的一端系着质量为M=2kg的物体，静止在水平粗糙的圆盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m的物体
24、，M的重心与圆孔的距离为0.5m，已知当圆盘转动的角速度满足1rad/s3rad/s时，物体m将保持静止状态。求M所受的最大静摩擦力和m的质量？,引伸：如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长L=0.1m的细线相连的A、B两小物体。已知A距轴心O的距离r=0.2m，A、B的质量均为m=1kg，它们与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，取g=10m/s2，求：（1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度0？（2）当A、B与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力？（3）当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？,2.绳伸直与否的临界问题：例3.如图所示，两绳的系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长l=2m，两绳都伸直时与轴的夹角分别为300和450.问球的角速度在什么范围内两绳始终张紧？当角速度=3rad/s时，上下两绳的拉力分别为多大？,3.脱离与否的临界问题：,
