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1、1,第三节 拉普拉斯方程 分离变量法,2,基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件,只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法,本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法,具体的工作：解泊松方程,3,在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的,例如,电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的,这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布,4,选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度0，泊松方程化为比较简单的拉普
2、拉斯方程,它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中的通解为,anm,bnm,cnm,dnm为任意常数,5,若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为,6,例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 R2），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。,7,这问题有球对称性，电势不依赖于角度和。设导体壳外和壳内的电势分别为,解,8,边界条件为：,（1）内导体接地,（2）整个导体球壳为等势体,（3）球壳带总电荷Q，,9,将通解代入边界条件,10,由这些边界条件得,其中,利用这些值得电势的解,导体球上的感应电荷为,
3、11,例2 电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。,12,设球半径为R0，球外为真空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。,球内区域的电势,解,球外区域的电势,13,边界条件：,（1）无穷远处，,因而,（2）R0处，2为有限值，因此,（3）在介质球面上，有,14,则有,比较P1的系数得,可解出,其他Pn项的系数可解出为,15,所有常数已经定出，因此本问题的解为,在球内总电场作用下，介质的极化强度为,介质球的总电偶极矩为,1表达式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势,16,例3 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导体上的电荷
4、面密度。,17,用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体球外电势,导体面上电荷面密度为,解,18,例4 导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电场。,19,用柱坐标系,取z轴沿尖边,柱坐标下的拉氏方程为,设的特解为,解,20,把的特解叠加为通解形式为,则上式分解为两个方程,21,在尖劈=0面上，=V与r无关，因此,因r 0时 有限，得,在尖劈=2-面上，=V与r无关，必须,因此v的可能值为,22,考虑这些条件，可以重写,为了确定选定常数An,还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域,并给定这曲面上的边界条件。,23,在尖角附近r 0，上式求和式的主要贡献来自r的最低次幂项，即n=1项,电场为,尖劈两面上的电荷面密度为,很小时,v1趋于1/2,面电荷密度很大，趋于1/r1/2,
