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1、3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,一、函数单调性的判定法,函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？,f(x)0,f(x)0,观察结果,函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零,观察与思考,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调减少,由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1
2、)=f(x)(x2x1)(x10 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2)这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加,证明 只证(1),在(a b)内任取两点x1 x2(x1x2),说明：判定法中的开区间可换成其他各种区间,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调减少,例1 判定函数yx+cos x 在p 2p上的单调性,解 因为在(p,2p)内 y1sin x 0 所以函数 yxsin
3、x 在p 2p上的单调增加,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调减少,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上单调减少,因为在(0)内y0 所以函数 yexx1在0)上单调增加,解 函数yexx+2的定义域为()yex1,例2 讨论函数 yex x+2的单调性,解 函数的定义域为
4、(),所以函数在0)上单调增加,因为x0时 y0,所以函数在(0 上单调减少,因为x0时 y0,.,1 设函数yf(x)在a b上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f(x)的两个相邻的零点 问f(x)在x1 x2上是否单调？2 如何把区间a b划分成一些小区间 使函数 f(x)在每个小区间上都是单调的？,讨论,(1)确定函数的定义域(2)求出导数f(x)(3)求出f(x)全部零点和不可导点(4)判断或列表判断(5)综合结论,确定函数单调区间的步骤,例4 确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间,解 这个函数的定义域为()f(x)6x218x126(x1)(x2)导数为零的点为x11
5、、x22 列表分析,函数f(x)在区间(1和2)内单调增加 在区间1 2上单调减少,(1),(1 2),(2),y2x39x212x3,说明：一般地 如果 f(x)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正(或负)时 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的,例5 讨论函数yx3的单调性 解 函数的定义域为()y3x2 显然当x0时 y0;当x0时 y0 因此函数yx3在区间(0及0,)内都是单调增加的 从而函数在整个定义域()内是单调增加的,证明:,设 f(x)sin xtan x2x 则f(x)在 内连续,f(x)cos xsec2x2,因为在 内cos x10 cos2x10
6、 cos x0,所以f(x)0 从而f(x)在 内单调增加,因此当 时 f(x)f(0)0 sin xtan x2x0,也就是 sin xtan x2x,二、曲线的凹凸性与拐点,函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？,曲线的凹凸性定义,设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有,那么称f(x)在I上的图形是凹的,那么称f(x)在I上的图形是凸的,如果恒有,观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.,定理2(曲线凹凸性的判定法),设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)
7、在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,例7 判断曲线y4xx2的凹凸性,因为y0 所以曲线在()内是凸的,解,y42x y2,设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,定理2(曲线凹凸性的判定法),例8 判断曲线yx35x23x5的凹凸性 解 y3x210 x3 y6x10 令y0 得.因为当 时 y0 所以曲线在0)内是凹的,拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,拐点,讨论 如何确定曲线
8、yf(x)的拐点？如果(x0,f(x0)是拐点且f(x0)=0存在,问f(x0)=？如何找可能的拐点？,提示 如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.在拐点(x0,f(x0)处f(x0)=0或f(x0)不存在.只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.,拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？如果(x0,f(x0)是拐点且f(x0)存在,问f(x0)=？如何找可能的拐点？,例9 求曲线y(x1)4ex的拐点 解 y4(x1)3ex,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.如
9、果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,y12(x1)2ex,因为在()内 y0,所以曲线y(x1)4ex的在()内是凹的 无拐点,例10 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解(1)函数y3x44x31的定义域为(),(4)列表判断,在区间(0和2/3)上曲线是凹的;在区间02/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点,0,0,1,11/27,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,讨论 曲线yx4是否有拐点？提示 y4x 3 y12x 2 当x0时 y0 在区间()内曲线是凹的 因此曲线无拐点,解,二阶导数无零点;当x0时,二阶导数不存在 因为当x0 当x0时 y0 所以点(0 0)曲线的拐点,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,总结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,
