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1、一、函数、极限和连续 二、一元函数微分学三、一元函数积分学 四、多元函数微积分学五、概率（无穷级数、常微分方程）,面临的两次考试1、结业考试（重修一次150元）卷面成绩+平时成绩（作业、课堂表现）2、入学考试,（一）函数,（二）极限,（三）连续,第一章 函数、极限与连续,函 数的定义,反函数,反函数与直接函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数的性质奇偶性单调性有界性周期性,1、函数的定义,一个函数当它的定义域及对应法则确定后，这个函数就确定了，所以，定义域和对应法则称为函数的两个要素。,例1,求,例 设,解,求函数的定义域,在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。用解析
2、式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：,(4)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。,(1)在分式中，分母不能为零；,(2)在根式中，负数不能开偶次方根；,(3)在对数式中，真数必须大于零；,【例题演示】,例：求下列函数的定义域,考察两个函数是不是相同的函数,1.定义域要相同2.对应法则要相同,(1)函数的奇偶性:,2、函数的性质,奇函数的图形关于坐标原点对称.偶函数的图形关于y 轴对称。,常见的奇函数：,常见的偶函数：,(2)函数的单调性:,(3)函数的有界性:,设函数 f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零
3、的数l,使得对于任一,有.且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,(4)函数的周期性:,3、反函数,反函数与直接函数之间的关系,4、基本初等函数,1）幂函数,2）指数函数,3）对数函数,5）反三角函数,4）三角函数,1).幂函数,2).指数函数,3).对数函数,4).三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,5).反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,5、复合函数,例题：分解下列复合函数,6、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复
4、合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,左右极限,两个重要极限,求极限的常用方法,无穷小的性质,极限存在的充要条件,判定极限存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小及其性质,两者的关系,无穷大,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记为,数列极限的通俗定义,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限,1、极限的定义,收敛数列的性质：唯一性；有界性 注意：有界数列不一定收敛,通俗定义：如果当 无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x时的极限
5、，记为,函数极限的定义,计算：,通俗定义 设函数 f(x)在的某邻域内有定义（x0可以除外）,如果当自变量x 趋近于x0 时,函数 f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数 A,则称A为函数 f(x)当xx0时的极限，,记为,如果当 从 的左侧 趋近于(记为）时,以A为极限，则称A为函数 当 时的左极限,右极限,左极限,2.单侧极限,2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在,说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者 都存在但不相等，则函数的极限不存在。,解：,=9,例,练习：求下列函数的极限,解：,解：,（3）,（4）,(1),4、两个重要极限,例3 求,例1 求,解：原式,解,例
6、 求,解：原式,(2),例 求,解,例 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,解,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,5、无穷小与无穷大,(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.,(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.,(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,定理 在自变量的同一变化过程中,无穷小的运算性质,定义:,无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),等价无穷小的
7、性质,不能滥用等价无穷小替换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,7.归纳：求极限的常用方法,1.初等函数代入法求极限2.消去零因子法求极限（约分法、共轭法（分母有理化）3.无穷小因子分出法求极限4.利用无穷小的性质求极限5.利用两个重要极限6.利用等价无穷小因子的替换7.利用极限的两个重要准则8.利用左右极限求分段函数极限9.罗必达法则,说明：下列几个极限不存在,例1,解,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,例3,解,分母有理化，分子有理化,解,例5,(消去零因子法),例6,解,(无穷小因子分出法),例7,解,先变形再求极限.,例8,解,左右极限存在且相等,例9,解
8、,例10,解,例11,解,例12,解,8.曲线的水平与垂直渐近线,左右连续,在区间a,b上连续,连续函数的 性 质,初等函数的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的充要条件,连续函数的运算性质,1、连续的定义,可见,函数,在点,(1),在点,即,(2)极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在;,有定义,存在;,2.单侧连续,定理,3、间断点的定义,4.间断点的类型：,第一类间断点:,第二类间断点:,左右极限都存在的间断点称为第一 类间断点.包括可去和跳跃间断点.,左右极限中至少有一个不存在的间断点称为第二 类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,第一类间断点:,跳跃间断点：左右
9、极限都存在但不相等的间断点。,可去间断点：左右极限都存在且相等的间断点。,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,5、闭区间的连续性,6、连续性的运算性质,定理,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理2,7、初等函数的连续性,定理3,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,8、闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.,零点定理（根的存在性定理）,定义:,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,例1,证,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,
