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1、利用幂级数的性质（特别是性质 3 和性质4）可以求出一些较为复杂的幂级数的和函数,（利用幂级数的和函数又可以求出一些较为复杂的常数项级数的和）,这是属于由给出的幂级数求和函数的问题，其反问题为,问题1：给定一个函数 f(x)（假定它在区间(a,b)上具有任意阶导数），如何求出 f(x)在 区间(a,b)上的幂级数？,第五节、函数展开成幂级数,定理（泰勒中值定理）如果函数 f(x)在含有点,的区间(a,b)内有直到 n+1 阶的连续导数，,的一个 n 次多项式,与一个余项,之和，即,则当 x 在(a,b)内取任何值时，f(x)可以表示为,其中,一、泰勒公式及泰勒级数,其中,称之为马克劳林公式。,
2、再令,则余项又可以写成,（二）泰勒级数,若 f(x)在,称为 f(x)的泰勒级数,问题2:除了,显然在,f(x)的泰勒级数收敛于,处，,外，泰勒级数是否一定收敛？,如果它收敛，它是否一定收敛于 f(x)？,上具有任意阶导数,则在泰勒公式中,让多项式的项数趋于无穷，得到级数,泰勒级数的前 n+1 项部分和即为,所以有,由泰勒公式有,所以有,所以,定理：设 f(x)在,的充分必要条件是,则 f(x)在该邻域内可以唯一表示(或展开)为泰勒级数,内具有任意阶导数，,特别，当,称其为 f(x)的马克劳林级数。,函数 f(x)在,（1）f(x)在 该邻域内是否具有任意阶导数；,（2）当,时，泰勒级数成为,
3、内是否可以展开为泰勒级数,或马克劳林级数取决于下面两个条件：,时，是否满足,二、函数展开成幂级数,（一）直接展开法,将 f(x)展开成马克劳林级数的步骤如下：,如果在 x=0 处某阶导数不存在，则停止计算。,并求出收敛半径 R 和收敛域 I,(3)考察在收敛域 I 内余项,的极限,是否为 0，如果为 0，则 f(x)在 收敛域 I 上的马克劳林展开式即为,注意：在上述展开中一定要验证条件,例1：将函数 展开成马克劳林级数,解:(1),(2)写出函数的马克劳林级数,求收敛域,（3）在收敛域内考察余项的极限,所以,在,可展成马克劳林级数,例2：将函数 展开成马克劳林级数,解：利用,可以定出,所以,
4、并可用比值判别法求得收敛域：,例2：将函数 展开成马克劳林级数,并可用比值判别法求得收敛区间：,解：利用,可以定出,所以,可展成马克劳林级数,（二）间接展开法,间接展开法是以一些已知函数的幂级数展开式为基础，利用幂级数的性质、变量代换等方法，间接求出一些较为复杂函数的幂级数展开式,例如：,分别令,则得,例1：将函数 和 分别展开成 x 的幂级数,解：,（1）因为,所以等式两边关于 x 求导得,（2）因为,例1：将函数 和 分别展开成 x 的幂级数,解：,因为,例2：将函数 展开成 x 的幂级数,解：,例2：将函数 展开成 x 的幂级数,解：,也收敛,所以有,例3：将函数 展开成(x1)的幂级数,解：,在上式中取,例3：将函数 展开成(x1)的幂级数,解：,在上式中取,例3：将函数 展开成(x1)的幂级数,解：,习题115:1(1,6),2,3,8,第十一章第五节:作业,
