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1、第四节 函数的导数与微分的应用,三、微分公式与微分运算法则,四、函数的单调性、凹凸性、极值与最值,一、利用微分计算近似值及误差估计,二、洛必达法则,当,很小时,得近似等式:,(1),(2),(3),一、近似计算与误差估计,（一）近似计算,的近似值.,解:设,例.求,很小),证明:,令,代入(4)式得,常用近似公式:,特别当,很小时,在(3)式,(4),（类似可得）,的近似值.,解:,例.计算,（二）误差估计,某量的精确值为 x,其近似值为 xo,称为xo的绝对误差,称为xo 的相对误差,若,称为测量 x 的绝对误差限,称为测量 x 的相对误差限,误差传递公式:,已知测量误差限为,按公式,计算
2、y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x0,二、洛必达法则,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(或 型),研究思路:,洛必达法则,未定式(未定型或不定型):,(1)型,存在(或为),定理 2.,(洛必达法则),则,设f(x),g(x)满足：,注1.,定理 1 中,换为下列过程之一:,注 3.若,条件,则,洛必达法则,注 2.使用洛必达法则时，验证3个条件；,例.求,解:,原式,洛,例.求,解:,原式,注意:不是未定式不能用洛必达法则!,洛,洛,例.求,解:原式,洛,(2),型,存在(或为),定理 2.,(洛必达法则),则,设f(x),g(x)满足：,例
3、.求,解:,原式=,洛,洛,例.求,解：,洛,(3)其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例.求,解:原式,解:原式,例.求,通分,取倒数,取对数,洛,例10.求,解:,通分,取倒数,取对数,洛,三、函数单调性、凹凸性、极值与最值,若在(a,b)内,定理2.9 设函数,a,b 内单调递增,(递减).,在a,b 内连续,(1)单调性,在(a,b)可导,则函数f(x)在,例11.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例12.当x0时，试证,证:设,故0,+)上f(x)是单调增加，,则称 为 的驻点。,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点,称 为函
4、数的极大值;,(2),则称 为 的极小值点,称 为函数的极小值。,极大值点与极小值点统称为极值点。,（2）极值,若,定义：,定义2.8,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2),1)函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,(必要条件),定理2.10(极值第一判别法),且在x0 的某去心邻域内可导,(1),“左正右负”,(2),“左负右正”,时,当,而当,时,时,当,而当,时,(3),若在点x0的某去心邻域内,求极值的步骤:,与不可导点（可疑极值点）；,求函数 的极值.,例13.,解:,驻点附近 的符号变化的情况:,因此,无极值,极大值,极小
5、值,定理2.11(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值。,例14.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,(3)最大值与最小值,则f(x)在,最值出现在：驻点、不可导点、区间端点。,求函数最值的方法:,1)求 在 内的驻点和不可导点,2)最大值,最小值,闭区间a,b上必有最大值和最小值。,定理：,例15.,解：（1）求导,（2）求驻点、不可导点：,驻点为,不可导点为,（3）计算这些点的函数值，求最大值和最小值：,肌肉或皮下注射后,血中药物的浓度与时间,例16.,问 t 为何值时，血中
6、药物浓度达最大值。,的关系是,解：,令,（唯一驻点）,因此当t=t0时，血中药物浓度达最大值。,定义2.9 设函数,在区间 I 上连续,若对,若对 有,则称函数图形在此区间上是凹的，如下左图;,四、曲线的凹凸性,若对 有,则称函数图形在此区间上是凸的，如下右图;,定理2.12(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 f(x)在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 f(x)在 I 内图形是凸的。,设函数,在区间I 上有二阶导数,定义2.10 函数的凹凸分界点 称为拐点。,拐点,证明略（可从斜率的大小变化来理解）,对应,例17.求曲线,的凹凸区间及拐点。,解:1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点。,凹,凹,凸,本节内容总结,一、近似计算与误差估计,二、洛必塔法则,通分,取倒数,取对数,本节内容总结,三、函数的单调性、凹凸性、极值、最值,极值第一判别法,极值第二判别法,求极值的步骤,由极值求最值,用二阶导的符号来判断凹凸性,用一阶导的符号来判断单调性,本节作业,练习题2.4：1，2，3（1），4（1），6 复习题二：8，9,分析:,原式,洛,备用练习,
