《大学微积分课件第六章.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大学微积分课件第六章.ppt(36页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、1,定积分的计算,定积分的概念和性质,换元积分法分部积分法,基本公式微积分,定积分的应用,求平面图形的面积,主要内容,求旋转体的体积,广义积分,无穷区间上的广义积分,无界函数的广义积分,2,一、定积分概念和性质,任取,在区间,上的定积分,(简称积分),即,此时称 f(x)在 a,b 上可积.,记作,3,4,说明:,1.,2.有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积;,3.,可积的充分条件:,5,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中,假定定积分都存在,且如非特殊说明,不考虑积分上下限的大小,定积分的性质:,6,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,性质2,说明:不论 的相对位
2、置如何,上式总成立.,(定积分对于积分区间具有可加性),性质3,7,性质4,性质5,推论:,(1),(2),8,性质6(估值定理),性质7(定积分中值定理),9,称,为变上限积分,1、变上限积分函数及其导数,二、定积分的计算,函数或积分上限函数,变上限积分函数的性质:,10,注1.,此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量 x求导,其结果就等于被积函数在上限自变量x处的函数值。,2.,3.,4.,5.,11,2、定理(微积分基本公式),注意,12,定理6.5 设函数f(x)在区间a,b上连续,作代换 满足下列条件:,上述公式称为定积分的换元积分公式,简称换元公式.,(2)当t在与之间变化
3、时,单调变化,且,则:,3、定积分的换元法,13,说明:,(1)定积分的换元法在换元后,积分上,下限也要作相应的变换,即“换元必换限”.,(2)在换元之后,按新的积分变量进行定积分运算,不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能,也可能,但一定要求满足,(4)换元积分法常用来证明定积分的等式,14,4、定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,15,1.求平面图形的面积,三.定积分的应用,(1).以x轴为底边的曲边梯形的面积,16,17,若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为,18,(2).以y轴为底边的曲边梯形的面积,19,特别,时,20,围成的平面图形的面积,,21,a,b,旋转体的体积为
4、,(1)以x轴为底边的曲边梯形绕x轴旋转,2、旋转体的体积,22,(2)以y轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转,(3)以x轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转,23,1、无穷区间上的广义积分,四、广义积分,24,25,2、无界函数的广义积分,26,例 题,例:设f(x)是连续函数,,,求f(x).,P57.二.5,解:,两边取定积分得:,27,例 题,例:,求,P57.二.6,解:,28,例 题,例:,P56.一.14,解:,29,例 题,例:,P56.一.16,解:,30,例 题,例:,P56.一.17,解:,31,例,解,例 题,32,例,解,例 题,33,例,例 题,34,解,例,例 题,35,例,证,36,4、,解,所以平均值为,