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数学活动矩形对角线穿过的小正方形数,王店中学 丁保付,国际数学大师 陈省身先生,问题:,在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过(至少要经过小正方形内部的一个点)的小正方形个数 f 与m、n之间的关系.,(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时,观察下列图22-26并完成下表,6,6,(2)猜想:当m、n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是(不需要证明);请再画出几个与上面不同的图形,验证你猜想的关系式是否成立。,(3)如果你猜想的关系式对一般情况都是适合的,请证明它的正确性;如果你能找到反例说明你猜想的关系式不成立,请修改你的猜想,再进行证明(如果你在证明时有困难,可先观察一条对角线所穿过的小正方形个数f与该对角线被纵、横网格线分成的线段之间的对应关系).,f=m+n-1,(4)当m、n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立,解答:当m、n不互质时,上述结论不成立,如图24,(5)画出24和36的矩形网格,分别观察它们的一条对角线所穿过的小正方形个数,并与12的矩形网格中它的一条对角线所穿过的小正方形个数进行比较,将24和36的情况转化为12的情况,求出f的值。,(6)当m、n不互质时,说说此时你求f值的方法.,活动小结通过本节课的学习,你有哪些收获?,