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1、特征函数,引进特征函数的目的在于有些问题用分布函数不好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随机变量和的分布.使用特征函数就会特别方便，在极限理论的研究中也发挥了很大作用。,如以前我们讲过随机变量XY的分布函数求法过程比较复杂，实际上经常碰到求X1+X2+X3+Xn 的密度函数，重复使用卷极公式，非常繁杂。,0.复随机变量的定义,1、特征函数的定义,2.特征函数的性质,证明,4）,设,是常数，,则,随机变量,相互独立，则,6）设随机变量,则它的特征函数可微分n次，且,特征函数提供了一条求各阶矩的捷径。,7）唯一性定理：分布函数由其特征函数唯一确定。,相应的分布函数F(x）可导且导函数连续，则有,构
2、成傅里叶变换对,1）二项分布,参数为,X的分布律,3 常见的几个分布的特征函数,2）泊松分布：,分布律,参数为,密度函数,3）指数分布：,参数为,4）,卡方分布的特征函数：,某些独立随机变量的分布函数的可加性 可用特征函数证明：,如：二项分布，泊松分布，正态分布，卡方分布均具有可加性。,极限定理,一 随机变量的收敛性二 大数定律与中心极限定理,1、依概率收敛,一 随机变量的收敛性,2、依分布收敛,3、r-阶收敛,1-阶收敛又称为平均收敛，2-阶收敛即为均方收敛。,4、以概率1收敛,四种收敛关系：,以概率1收敛或r-阶收敛,依概率收敛,依分布收敛,二、大数定律与中心极限定理,研究两类问题：,（大
3、数定律）,（中心极限定理）,为相互独立的随机变量序列,（2）n充分大时，服从什么分布？,（1）,定义,1、大数定律,定理一,（切比雪夫大数定律）,量，且具有相同的数学,设,为一列相互独立的随机变,即,定理二（辛钦大数定律）,为一列相互独立同分布的,随机变量，且具有相同的数学期望,即,设,在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同,分布的条件，则有：,定理三（伯努利大数定律）,设事件,在每次试验中出现的概率为 p,在n次重复独立试验中出现的频率为,即,且,理论上给出了在大量重复实验下,事件A的频率依概率收敛于它的概率p.,定理四(马尔可夫大数定律),证明,由切比雪夫不等式,即得所证结果.,例1 如何估计一大批产品的次品率？,解,抽取n件产品，为其中次品的件数。,设A为事件“任取一件为次品”，记,由伯努利大数定律知,当n很大时，可取 作为次品率 的估计值。,2、中心极限定理,的随机变量，且具有数学期望和方差，,定理1（独立同分布的中心极限定理）,任意实数,有,设,为一列相互独立相同分布,则对于,定理2（德莫佛拉普拉斯）,，则对于任意实数x，有,设,定理3(李亚皮诺定理),
