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1、2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,1,考试时间地点：12月20日 16周 星期五 上午10：00-11：40攀登楼 101（1-52），102（53-102）攀登楼 201（1-58），202（59-114）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,2,第一章 矢量分析小结,1.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，它们都是空间坐标的连续函数。,2.标量场 中，梯度的定义为 其中 为 变化最快的方向上的单位矢量。,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,3,3.矢量场 在闭合面S的通量定义为 它是一个标量；矢量场的
2、散度也是一个标量，定义为,4.矢量场 在闭合路径C的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个矢量，它定义为,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,4,5.矢量分析中重要的恒等式有,高斯定理,斯托克斯定理,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,5,6.算符 矢量算符 在直角坐标内，所以 是个矢量，而 是个标量，是个矢量。因而矢量算符 符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，再作微分运算。7.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。,2023/10/3,中南大学信息科
3、学与工程学院,6,直角坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,其位置矢量：,空间任一点 P（x0,y0,z0):,坐标变量:,变量取值范围：,微分元：,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,7,圆柱坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,其位置矢量：,空间任一点P(r0,0,z0),变量取值范围,微分元,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,8,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,9,球面坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,位置矢量：,变量取值范围:,微分元：,2023/10/3,中南大学信息
4、科学与工程学院,10,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,11,柱坐标,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,12,球坐标,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,13,第二章 电磁场的基本规律 小结,1.电荷分布形态分为四种形式：点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷,电荷体密度,电荷面密度,电荷线密度,点电荷的电荷密度,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,14,2.电流分布 体电流,流过任意曲面S 的电流为,面电流,通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为,2023/10
5、/3,中南大学信息科学与工程学院,15,积分形式,微分形式,恒定电流的连续性方程,3.电流连续性方程,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,16,面密度为 的面分布电荷的电场强度,根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发的电场为,4.电场强度,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,17,5.静电场的散度和旋度,静电场的散度（微分形式）,静电场的高斯定理（积分形式）,静电场的旋度（微分形式）,静电场的环路定理（积分形式）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,18,6.磁感应强度,任意电流回路 C 产生的磁感应强度,电流元 产生的磁感应强度,体电流产生的磁感应强度,面
6、电流产生的磁感应强度,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,19,7.恒定磁场的散度与旋度,恒定场的散度（微分形式）,磁通连续性原理（积分形式）,恒定磁场的旋度（微分形式）,安培环路定理（积分形式）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,20,极化强度与电场强度有关在线性、各向同性的电介质中，与电场强度成正比，即,8.电介质的极化,电介质的电极化率,(1)极化电荷体密度,(2)极化电荷面密度,定义：电位移矢量,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,21,9.静电场在电介质中的基本方程,及介质的本构关系,对于线性各向同性介质，,小结：静电场是有散无旋场，电介质中的基
7、本方程为,（微分形式），,（积分形式）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,22,10.介质的磁化及磁化电流,（1）磁化电流体密度,（2）磁化电流面密度,恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为,（积分形式）,（微分形式）,11.恒定磁场在磁介质中的基本方程,及介质的本构关系,定义磁场强度 为：,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,23,磁化强度 和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，与 之间存在简单的线性关系：,磁介质中的本构关系式,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,24,12.欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质
8、的电导率，单位是S/m（西/米）。,13.法拉第电磁感应定律,相应的微分形式为,相应的微分形式为,(1)回路不变，磁场随时间变化,引起回路中磁通变化的几种情况,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,25,(2)导体回路在恒定磁场中运动,(3)回路在时变磁场中运动,微分形式,14.位移电流密度,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,26,15.麦克斯韦方程组的积分形式,（全电流定律）,（法拉第电磁感应定律）,（磁通连续性方程方程）,（电介质中的高斯定律）,（电流连续性方程）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,27,16.麦克斯韦方程组的微分形式,2023/10/
9、3,中南大学信息科学与工程学院,28,17.媒质的本构关系,各向同性、线性媒质的本构关系为,18.电磁场的边界条件,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,29,19.两种理想介质分界面上的边界条件,在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS0、S0，故,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,30,20.理想导体表面上的边界条件,理想导体表面上的边界条件 设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,31,Ex:一段两端封闭的圆形同轴导体，长度为l内导体半径为a，外导体半径为b。同轴导线的轴线与z轴重合，两
10、端面分别位于z=0和z=l处，如图所示。设导体的电导率为=，内外导体空间的媒质为空气。若已知导体间的磁场强度为：,求:(1)导体间的电场强度；(2)导体表面上的电流面密度 和电荷面密度。,x,y,解：（1）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,32,（2）,z=0,z=l,x,y,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,33,（2）,在内导体r=a,x,y,在外导体r=b,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,34,一、静电场的基本方程和边界条件,第三章 静态电磁场及其边值问题的解 小结,2.边界条件,微分形式：,本构关系：,1.基本方程,积分形式：,或,或,若分
11、界面上不存在面电荷，即，则,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,35,由,1.电位函数的定义,二、电位函数,面电荷的电位：,点电荷的电位：,线电荷的电位：,3、电位积分表达式：体电荷的电位：,2、P、Q 两点间的电位差,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,36,4、电位方程在均匀介质中，有标量泊松方程,在无源区域，有拉普拉斯方程,5.静电位的边界条件,若介质分界面上无自由电荷，即,导体表面上电位的边界条件：,常数，,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,37,(1)假定两导体上分别带电荷+q 和q；,计算电容的方法一：,(4)求比值，即得出所求电容。,(3)由
12、，求出两导体间的电位差；,(2)计算两导体间的电场强度E；,计算电容的方法二：,(1)假定两电极间的电位差为U；,(2)计算两电极间的电位分布；,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,38,三、静电场能量,电荷系统的总能量为,导体系统的能量为,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,39,不变,四、静电力,q不变,五、恒定电场分析1、基本方程,恒定电场的基本方程为,微分形式：,积分形式：,恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度,线性各向同性导电媒质的本构关系,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,40
13、,2.恒定电场的边界条件,即,即,场矢量的折射关系,电位的边界条件,导电媒质分界面上的电荷面密度,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,41,3.恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,42,(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度 矢量J；由J=E 得到 E;由，求出两导 体间的电位差；(5)求比值，即得出 所求电导。,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布；(3)由 得到E;(4)由 J=E 得到J;(
14、5)由，求出两导体间 电流；(6)求比值，即得出所 求电导。,计算电导的方法三：,静电比拟法：,4、电导的计算方法,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,43,微分形式:,1.基本方程,2.边界条件,本构关系：,或,若分界面上不存在面电流，即JS0，则,积分形式:,或,六、恒定磁场,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,44,3、恒定磁场的矢量磁位,库仑规范,引入：,磁矢位的微分方程,在无源区：,磁矢位的边界条件,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,45,4.恒定磁场的标量磁位,但在无传导电流（J0）的空间 中，则有,磁标位的微分方程,在线性、各向同性的均匀媒质
15、中,标量磁位的边界条件,和,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,46,七、电感,1.自感,I为回路 C 中的电流，为I所产生的磁场与回路 C 交链的磁链，,单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量,多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和,回路 C1 对回路 C2 的互感,3.互感,回路 C2 对回路 C1 的互感为,M12=M21,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,47,八、恒定磁场的能量,电流为 I 的载流回路具有的磁场能量Wm,对于两个电流回路 C1 和回路C2，有,磁场能量密度,磁场能量密度：,磁场的总能量：,2023/10/3,中南大学信
16、息科学与工程学院,48,2、磁场力,不变,不变,九、惟一性定理,在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,49,十、镜像法：必须保证原问题的方程不变，边界条件不变,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。,十一、分离变量法解决求有边界区域的场的解,思路：套用通解，根据边界条件来定待定系数,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,50,对于非垂直相交的两导体平面构
17、成的边界，若夹角为,则所有镜像电荷数目为2n-1个。,一般，只要 满足 为偶数，就可以用镜像法来求解，若不满足，则镜像电荷会出现在所求解的场域内，不能用镜像法来求解。,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,51,第四章 时变电磁场 小结,一、电磁波动方程,二、位函数,洛伦兹条件,达朗贝尔方程,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,52,1、电磁能量密度：,四、电磁场能量,表征电磁能量守恒关系的定理,积分形式：,2、坡印廷定理,微分形式：,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,53,(W/m2),的方向 电磁能量传输的方向,的大小 通过垂直于能量传输方 向的单位面积
18、的电磁功率,3、坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）,五、时谐电磁场,1、复矢量,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,54,2、复矢量的麦克斯韦方程,3、导电媒质的等效介电常数,c=j/,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,55,4、电介质的复介电常数,5、同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质,6、磁介质的复磁导率,复介电常数为,7、亥姆霍兹方程,复矢量,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,56,8、平均能量密度和平均能流密度矢量,平均能流密度矢量,平均电场能量密度,平均磁场能量密度,在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有,2023/10/3,中
19、南大学信息科学与工程学院,57,第五章 均匀平面波在无界空间中的传播 小结,一、均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波,二、理想介质中的均匀平面波的传播特点,电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM 波）。,无衰减，电场与磁场的振幅不变。,波阻抗为实数，电场与磁场同相位。,电磁波的相速与频率无关，无色散。,电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速。,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,58,电磁场中的一些重要参数,周期T：时间相位变化 2的时间间隔，即,角频率：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s,频率 f：,k 的大小等于空间
20、距离2内所包含的波长数目，因此也称为波数。,波长：空间相位差为2 的两个波阵面的间距，即,相位常数 k：表示波传播单位距离的相位变化,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,59,相速v：电磁波的等相位面在空间中的移动速度,故得到均匀平面波的相速为,相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关,三、沿任意方向传播的均匀平面波,沿 传播方向的均匀平面波,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,60,条件：或,四、电磁波的极化,一般情况下，沿+z 方向传播的均匀平面波，其中,电磁波的极化状态取决于Ex 和Ey 的振幅之间和相位之间的关系，分为：线极化、圆极化、椭圆极化。,1、线极化,
21、特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢 端轨 迹与x 轴的夹角始终保持不变。,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,61,2、圆极化波,条件：,特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变 化，电场的矢端在一个圆上并以角速度 旋转。,右旋圆极化波：若yx/2，则电场矢端的旋转方向 与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波,左旋圆极化波：若yx/2，则电场矢端的旋转方向 电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,62,3、椭圆极化波,特点：合成波电场的大小和方向都随时间改变，其端点在一个椭圆上旋转。,线极化：0、。0
22、，在1、3象限；，在2、4象限。,椭圆极化：其它情况。0，左旋；0，右旋。,圆极化：/2，ExmEym。取“”，左旋圆极化；取“”，右旋圆极化。,电磁波的极化状态取决于Ex 和 Ey 的振幅Exm、Eym 和相位差 yx,对于沿+z 方向传播的均匀平面波：,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,63,五、导电媒质中的均匀平面波,1、导电媒质中均匀平面波的传播特点：,电场强度 E、磁场强度 H 与波的传播方向相互垂直，是横 电磁波（TEM波）；,媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于 电场 角；,在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；,波的传播速度（相度）不仅与媒
23、质参数有关，而且与频率有 关（有色散）。,平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,64,2、弱导电媒质中均匀平面波的特点,相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；,衰减小；,电场和磁场之间存在较小的相位差。,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,65,良导体：,3、良导体中的均匀平面波,良导体中的参数,波长：,相速：,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,66,趋肤深度（）：电磁波进入良导体后，其振幅下降到表面处振幅的 1/e 时所传播的距离。,本征阻抗,良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电场强度45o。,2023/10/
24、3,中南大学信息科学与工程学院,67,六、色散与群速,群速：载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心 向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就 是群速。,无色散,正常色散,反常色散,群速vg：包络波的恒定相位点推进速度,相速vp：载波的恒定相位点推进速度,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,68,第六章 均匀平面波的反射与透射小结,一、均匀平面波垂直入射,1 对导电媒质分界面的垂直入射,媒质1中的入射波：,媒质1中的反射波：,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,69,媒质1中的合成波：,媒质2中的透射波：,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学
25、院,70,在分界面z=0 上，电场强度和磁场强度切向分量连续，即,反射系数和透射系数,和 是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波 都不同。,若两种媒质均为理想介质，即1=2=0，则得到,若媒质2为理想导体，即2=，则，故有,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,71,2 对理想导体表面的垂直入射,电场波节点（的最小值的位置）,(n=0,1,2,3,),(n=0,1,2,3,),电场波腹点（的最大值的位置）,入射波和反射波的电场，合成波形成驻波。,在时间上有/2 的相移。,在空间上错开/4。,坡印廷矢量的平均值为零。,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,72,驻波系
26、数 S 定义为驻波的电场强度振幅的最大值与最小值之比，即,驻波系数(驻波比)S,3 对理想介质表面的垂直入射,合成波为由行波和纯驻波合成的波称为行驻波（混合波）,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,73,二、均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射,1 反射定律与折射定律,反射角 r 等于入射角 i（斯耐尔反射定律）,折射角 t 与入射角 i 的关系（斯耐尔折射定律）,式中，。,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,74,2 反射系数与折射系数,（1）垂直极化波:,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,75,（2）平行极化波:,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,76,3 全反射与全透射,临界角,（1）全反射,发生全反射的条件,透射波沿分界面方向传播，但透射波的振幅沿垂直于分界面的方向上呈指数衰减，形成表面波。,i=c 时，,2023/10/3,中南大学信息科学与工程学院,77,（2）全透射,布儒斯特角,发生全透射的条件,在非磁性媒质中，垂直极化入射的波不会产生全透射。,任意极化波以ib 入射时，平行极化波分量全部透射，反射波中只有垂直极化分量 极 化滤波。,
