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1、第2章 随机变量及其分布,第五节 随机变量的函数的分布,问题的提出离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布小结 布置作业,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,求截面面积 A=的分布.,比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,在比如，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布，,求功率 W=V2/R(R 为电阻）的分布等.,设随机变量 X 的分布已知，Y=g(X)(设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量函数的分布,解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5
2、，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,如果g(x k)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,一般地，若X是离散型 r.v，X 的分布律为,则 Y=g(X),则 Y=X2 的分布律为：,三、连续型随机变量函数的分布,解 设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y=P 2X+8 y,=P X=FX(),于是Y 的密度函数,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0 时，.,解 设Y 和 X 的分布函数分别为 和，,则 Y=X2 的概率密度为：,求导可得,若,
3、从上述两例中可以看到，在求PYy 的过程中，关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X,从而得到与 g(X)y 等价的X 的不等式.,用 代替 X2 y,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,例4 设随机变量X的概率密度为,求 Y=sinX 的概率密度.,当 y 0 时,当 y 1时,故,解,注意到,解 当 0 y 1 时,例4 设随机变量 X 的概率密度为,求 Y=sinX 的概率密度.,=P0 X arcsiny+P-arcsiny X,而,求导得:,例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从0
4、,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明 设 Y 的分布函数是 G(y),于是,对 y 1,G(y)=1;,对 y 0,G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=PY y,=PF(X)y,=PX(y),=F(y)=y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见,Y 在0,1上服从的均匀分布.,本例的结论可应用在在计算机模拟中,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.,其中，,x=h(y)是 y=g(x)的反函数.,定理 设 X是一个取值于区间a,b，具有概率密度 f(x)的连续型 r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有 或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,解,四、小结,对于连续型随机变量，在求 Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件 g(X)y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X)y.,这一节我们介绍了随机变量函数的分布.,布置作业,习题2-55 6 7 8,
