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1、第二章 场论,第6讲 矢量场的通量及散度,主要内容,1.通量2.散度3.平面矢量场的通量与散度*教材：第2章 第3节,简单曲线与简单曲面术语介绍,（1）简单曲线：,设连续曲线参数方程为：,曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(闭合曲线闭合点除外)。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。,（2）简单曲面：,设连续曲面参数方程为：,曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u,v）.(闭合曲面闭合点除外)。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续曲面。,1.通量,引例：,设有流速场v(M),流体是不可压缩的，设其密度为1.求单位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q（如图）。,取微元ds(
2、微元内速度矢量和法矢量近似看做不变)，则穿过ds的流量dQ近似等于：,以 表示点M处的单位法矢量则流量表示为：,令 为在点M处的这样一个矢量，其方向与法向量n一致，其模等于面积ds。,据此，在单位时间内向正侧穿过S的流量，就可用曲面积分表示为：,又如：在电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的电通量：,在磁感应强度矢量B分布的电场中，穿过曲面S的磁通量：,通量定义：,设有矢量场A(M),沿其中有向曲面S某一侧的曲面积分：,叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。,若：,则有：,通量是可叠加的。,在直角坐标系中，设,则通量可写成：,又：,例1：,设由矢径 构成的矢量场中，有一由圆锥面 及平
3、面 所围成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的通量。,解：,以 表示曲面S的平面部分，以 表示锥面部分，则通量为：,其中,其中 为 在xOy面上的投影。,在 上有 则：,所以：,例2：,设S为曲面 被围在圆柱面 内的部分，求矢量场 向下穿出S的通量。,解：,S为函数 当u取值为0时的一张等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位法矢量为：,所求通量为：,通量为正负时的物理意义：,对于流速场v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过S的流量为Q，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿过曲面元素dS的流量为：,其结果是个代数值：若v从曲面的负侧
4、传到曲面的正侧时，v与n夹角为锐角因此dQ为正流量，如下图左所示；反之，v与n夹角为钝角dQ为负流量，如下图右所示：,因此，对于总流量,一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面S的正流量与负流量的代数和。,如果S为一封闭曲面，此时积分 一般指沿S的外侧，此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S的负流量的代数和。,若Q0,那S内必有正源；同理Q0,S内必有负源。但是当Q=0时，不能断言S内无源。,例3：,在点电荷q所产生的电场中。任何一点M处的电位移矢量为,其中r是点电荷q到点M的距离，是从点电荷q指向点M的单位矢量。设S为以点电荷为球心，R为半径的球面，求从内穿出S的电通量。,解：,如图，
5、在球面S上恒有r=R,且法矢量n与 的方向一致，所以,2.散度,散度定义：,设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个领域内作一包含M点在内的任一闭曲面S，设其所包围的空间区域为，以V表示其体积，以表示从其内穿出S的通量，若当以任意方式缩向点M时，比式：,的极限存在，此极限为矢量场A(M)在点M处的散度。记作div A,散度div A为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。,div A的符号为正表示该点处有散发通量的正源，反之则有吸收通量的负源。其绝对值|div A|表示该点处散发或吸收通量的强度。,当div A的值为零时，表
6、示该点处无源，由此称div A0的矢量场为无源场。,把矢量场A中每一点的散度与场中的点一一对应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产生的散度场。,散度在直角坐标系中的表达式：,定理：在直角坐标系中，矢量场,在任一点的散度为：,证明：,由高斯公式得：,再按中值定理有,M*为内的某一点，由此：,当缩向点M时，M*就趋于M,所以,推论1：,高斯公式可写成如下的矢量形式：,推论2：,穿出封闭曲面S的通量等于S所围区域上的散度在上的三重积分,由推论1可知：若在封闭曲线S内处处有divA=0,推论3：,若在矢量场A内，某些点（或区域）上有divA0或divA不存在，而在其他的点都有divA=0，则穿过包
7、围这些点（或区域）的任意两张封闭曲面的通量都相等，为一常数。,例4：,在点电荷q所产生的静电场中。求电位移矢量D在任一点M处的散度div D。,解：,取点电荷所在之点为坐标原点，此时：,其中,因此,于是有,（r 0）,所以,可见，除点电荷q所在的原点（r=0）divD不存在外，电位移D的散度处处为零，为一无源场。,根据推论3和例3有电场穿过包含点电荷q在内的任何风闭曲面S的电通量都等于q，再根据通量可累加，可以得出电学上的高斯定理：,穿出任意封闭曲面S的电通量，等于其内各点电荷的代数和。,对于在电荷连续分布的电场中，点位移矢量D的散度为：,根据高斯定理：,即电位移D的散度等于电荷分布的体密度。
8、,散度运算的基本公式：,（c为常数）,(u为数性函数),例5：,已知 求。,由基本公式得：,故,由于,解：,3.平面矢量场的通量与散度*,上面讨论的是空间矢量场的通量和散度，用类似的方法可引入平面矢量场的通量和散度；,为此将平面有向曲线上任一点处的法矢量n的方向做这样的规定：若将n按逆时针方向旋转90度，它便与该点处的切向矢量t共线且同指向，如图：,通量定义（平面矢量场）,设有平面矢量场A(M),沿其中某一有向曲线l的曲线积分,叫做矢量场A(M)沿法矢量n的方向穿过曲线l的通量,在直角坐标系中，设,又曲线l的单位法矢量,则通量可表示为：,若l为封闭平面曲线，取其逆时针为正方向，而且对于环绕l一
9、周的曲线积分 来说，默认表示积分沿l的正方向进行。,据此，可引出散度的定义；,散度定义（平面矢量场）,设有平面矢量场A(M),于场中一点M的某个领域内做已包含点M在内的任一闭曲线l，设其所包围的平面区域为，以S表示其面积，以表示从其内穿出l的通量，若当以任意方式缩向点M时，比式：,的极限存在，则称之为矢量场A(M)在点M处的散度。,即,类似地引入格林公式：,在直角坐标系中散度可表示为：,因此格林公式可写成如下的矢量形式：,例6：,已知平面矢量场 其中a为常数，（1）求场A穿出使divA=0的等值线的通量；（2）求divA在点M(2,-1)处的方向导数的最大值。,解：,（1）因,使divA=0的等值线为一圆周,场A穿出l的通量为：,使用极坐标计算，则：,（2）,divA在点M（2，-1）处的方向导数的最大值为：,作业P65 习题3：1，2，3，6,10,Homework 5,
