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1、第二章 矩阵,1 矩阵的概念,2 矩阵的线性运算、乘法和转置运算,下页,第二章 矩阵,本章要求,掌握矩阵的运算，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件，掌握求逆矩阵的方法（伴随矩阵求逆及初等变换求逆）；掌握矩阵的初等变换和求矩阵的秩的方法.,本章重点,用初等变换求逆矩阵及求矩阵的秩的方法.,下页,在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：,(a11 a12 a1n b1),(a21 a22 a2n b2),(am1 am2 amn bm),这些有序数组可以构成一个表,这个表就称为矩阵.,1 矩阵的概
2、念,下页,其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素.一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn.,定义1 由 mn 个数 aij(i1,2,m；j1,2,n)排成一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作,下页,零矩阵 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为 O.行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如,a=(a1 a 2 an)，,负矩阵,为A的负矩阵,记作 A.,下页,如下形式的 n 阶矩阵称为上三角形矩阵.,三角形矩阵,如下形式的 n
3、阶矩阵称为下三角形矩阵.,方阵 若矩阵 A 的行数与列数都等于 n，则称 A 为 n 阶矩阵，或称为 n 阶方阵.,下页,对角矩阵,如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.,对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,ann).,单位矩阵,如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.,定义2 矩阵相等：设A(aij)，B(bij)为同阶矩阵，如果aijbij(i1,2,m；j1,2,n)，则称矩阵A与矩阵B 相等，记作AB.,下页,第二节 矩阵的线性运算、乘法和转置运算,四、转置矩阵及对称方阵,一、矩阵的加法,二、数与矩阵的乘法,三、矩阵的乘法,五、方阵的行列式,下页,一、矩阵的
4、加法,定义1 设A与B为两个mn矩阵,A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为AB.即C=A+B.,下页,例1设,A+B=,3+1 5+3 7+2 2+0,2+2 0+1 4+5 3+7,0+0 1+6 2+4 3+8,4 8 9 2,4 1 9 10,0 7 6 11,.,矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn。,下页,设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：,（1）交换律：A+B=B+A;,（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);,（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;,矩阵的减法可定义为:
5、,显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.,（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.,下页,定义2 设A(aij)为mn矩阵,则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA.即,二、数与矩阵的数法,下页,矩阵的数乘：设A(aij)mn，则kA=(kaij)mn.,例2设,3A,33 35 37 32,32 30 34 33,30 31 32 33,9 15 21 6,6 0 12 9,0 3 6 9,.,下页,(5)k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.,设A，B，C
6、，O都是mn矩阵，k，l为常数，则,矩阵数乘的性质：,另外,易得 0A=O.,性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.,下页,解：3A-2B,2 6 4 0,4 2 10 14,0 12 8 16,9 15 21 6,6 0 12 9,0 3 6 9,.,7 9 17 6,2-2 2-5,0-9-2-7,9-2 15-6 21-4 6-0,6-4 0-2 12-10 9-14,0-0 3-12 6-8 9-16,下页,解：,A+2X+(-A)=B+(-A)；两边加A 的负矩阵,A+(-A)+2X=B+(-A)；交换律,O+2X=B-A；性质4,A+(-A)+2X=B-A；约定（
7、减法）,2X=B-A；性质3,*2X=*(B-A)；数乘运算,1X=*(B-A)；恒等变换,X=*(B-A)；性质8,下页,从而得 X=*(B-A),说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别。,解：,下页,定义3 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：,构成的mn矩阵C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的积，记为CAB.,则由元素 cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1,2,m；j1,2,n),三、矩阵的乘法,下页,cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1,2,m；j1,2,n).,ai1b1jai2b2j aisbsj.,注：A的列数等于B的行数，AB
8、才有意义;C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.,因此，cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.,矩阵的乘法:,cij,下页,cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1,2,m；j1,2,n).,矩阵的乘法:,下页,(i1,2,m).,（1）先行后列法,(ai1 ai2 ais),=(),ci1,ci2,cin,解：,-6,-7,8,（1）先行后列法,解：,-6,-7,8,-3,0,-3,（1）先行后列法,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,（1）先行后列法,下页,cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1,2,m；j1,2,n).,矩
9、阵的乘法:,下页,（2）先列后行法,(j1,2,n).,c1j,c2j,cmj,解：,5,-3,8,（2）先列后行法,解：,5,-3,8,-7,0,-7,（2）先列后行法,解：,5,-3,8,-7,0,-7,-6,-9,-3,（2）先列后行法,4,-9,8,3,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,；,通常采用：先行后列法,下页,解：,-32,-16,16,8,0,0,0,0,下页,AB=,解：,显然，1)矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA;2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出A=O或B=O.,下页,解：,3,1,1,0,3,1,1,0,显然AB=B
10、A.如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.,问题：与可交换的怎么得到？,下页,显然AC=BC，但AB.矩阵乘法不满足消去律.,例8 对于任意矩阵,及相应的单位矩阵有：,，.,下页,例10.,则AA=,=A,显然AA=A，但AE，A O.,下页,例11.线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）,简记为：AX=B.,其中，A=,，X=,，B=,下页,应注意的问题：,(1)ABBA；,(3)AB=O,A=O或B=O；,(2)AC=BC,A=B；,矩阵乘法的性质：,方阵的幂：对于方阵A及自然数k Ak=AA A(k个A相乘)，称为方阵A的k次幂.方阵的幂有下列性质：(1)ArAs=Ar
11、+s；(2)(Ar)s=Ars.,(4)AA=A,A=E或A=O.,(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).,问题：(A+B)2=?,下页,定义4 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果,例如，设x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则,(y1 y2 yn),xTy,.,四、转置矩阵及对称方阵,显然，T.,下页,转置矩阵有下列性质：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；,定义4 将mn矩阵A的行与列
12、互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果,四、转置矩阵及对称方阵,(4)(AB)T=BTAT.,下页,定义5 设A 为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT=-A，则称A为反对称矩阵。,分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.,显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji;A为反对称矩阵的充分必要条件是 aij=-aji.,如：,下页,定义6,设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或det A.,性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则,(1)|A|=|AT|;,(3)|AB|=|A|B|.,(2)|kA|=kn|A|;,五、方阵的行列式,显然，|E|=1.,一般地，若A1,A2,Ak都是n阶方阵，则,显然,下页,例11设,求,解:因为,由公式,则,若先求得,同样,下页,例12设 A，B均为四阶方阵，且.,计算.,解 由方阵的行列式的运算规律，,下页,4,-16,2,18,练习,下页,作业：69页 2 3 4（3）（4）（5）5（1）,结束,
