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1、支持向量机(SVM)网络,最优线性分界面（二分类问题）对线性可分集，总能找到使样本正确划分的分界面，而且有无穷多个，哪个是最优的？一种最优的分界准则（从对样本及参数的鲁棒性看）是使两类模式向量分开的间隔最大。,支持向量机,最优线性分界面的确定两分类的线性判别函数的一般表达式为：。方程 定义了一个超平面H，它把两类训练样本完全分开。设个样本为：，则有分类规则：，由于训练集线性可分，改变权向量的摸，总可改写分类规则为：，进一步合并有紧凑式：同样还有：,支持向量机,最优线性分界面的确定（续）g(x)可以看成是从x到超平面的距离的一种度量，见图。把x表示成：，其中r是x到的垂直距离，则有：，即：,支持
2、向量机,最优线性分界面的确定（续）间隔：离分界面H最近的样本点(即使 的样本点)与分界面的距离，它是。这样，两类模式间隔的距离为。最优分界面：为使两类间隔最大，应使 最小，等价于使 最小。所以，最优分界面应满足：和支持向量：距离最优分界面最近的位于间隔边界上的那些样本向量，也就是使得等号或 成立的那些样本向量。,支持向量机,最优分界面的求解用Lagrange乘子法最小化代价函数：。构造Lagrange函数：其中 为Lagrange乘子，达到极值的必要条件为：必要条件1：即：必要条件2：即：从最优化理论的KTT条件得出解必须满足：从必要条件1看到，只有 的样本对权起作用，而此 时必有，即相应的样
3、本是支持向量。故解向量w是由支持向量构建的，它们决定分类结果。,支持向量机,最优分界面的求解（续）根据Lagrange优化方法，用对偶定理求乘子 最优解。展开Lagrange函数有：将 和 代入上式，则有：求上式的最大值，可得最优解，则最优权向量为：（是支持向量的个数）最优偏置可选用一个支持向量样本求得：。最优分界面是：,支持向量机,线性不可分问题向高维空间（特征空间）映射模式可分性的Cover定理 将复杂的模式分类问题非线性地投射到高维空间将比投射到低维 空间更可能是线性可分的。基本原理 通过某种非线性映射 将样 本映射到一个高维空间（特征空间），在这个高维空间中构造最 优分类超平面：在特征
4、空间用线性可分的结果，即代入上式得这样在映射到高维空间也只须进行内积运算，这是可以用原空间 的函数实现的。根据泛函理论，只要核函数 满足Mercer条件，它就对应某个变换空间中的内积。,支持向量机,线性不可分问题（续）向高维空间（特征空间）映射只要找到适当的核函数 就可实现某个非线性变换后的线性分类，类似线性可分情形有：对 求以下函数的极大值 满足约束条件 和。设最优解为，则最优分界面可写为：,支持向量机,线性不可分问题（续）向高维空间（特征空间）映射不同的核函数将形成不同的算法，常用的有：多项式核函数：径向基函数：支持向量机的结构图,支持向量机,sgn(),y,线性不可分问题（续）（映射后也
5、不能保证线性可分）增加松弛项，使分界面在训练集上平均分类误差最小。原问题为：寻找权向和偏置的最优值，使得它们们满足约束条件 和，其中松弛变量 时，是支持向量 松弛变量，落入间隔区，在分界面的正确一侧 松弛变量 时，落入分界面的错误一侧 此时，使得权向量和松弛变量最小化代价函数为 其中 是个常数，由使用者选定控制对错分样本的惩罚程度,支持向量机,对偶问题为：寻找Lagrange乘子最大化目标函数 满足约束条件 和（此项与前面线性可分情况结果不同）,支持向量机,支持向量机的设计算法在能够进行变换 的情况下：（1）在约束条件 和（或）下求函数 极大值点；（2）计算最优权值和偏置值：，；（3）支持向量
6、机的最优分界面为：。在选择核函数 避免进行变换情况下，不同处有：（1）求函数 极大值点；（2）计算最优权值：，其中 是隐层输出；（3）支持向量机的最优分界面为：,支持向量机,支持向量机的特点适合对小样本数据的学习，注重样本自身信息，而非产生样本的规律（概率及条件概率等）。网络结构简单，只有一个隐层，隐层的节点数由所求得的支持向量个数自动决定。可以根据核函数的选择自动计算重要的网络参数。在解决模式分类问题方面，能提供较好的泛化性能。有些参数（如控制对错分样本惩罚程度的C）不易确定。虽然可以不需知道非线性映射 的具体形式，但非线性映射的核函数 不易得。判定一个给定的核函数是否满足Mercer定理条
7、件是一件困难事。在待分类的模式为线性不可分时，怎样控制支持向量的选择是一个困难的问题。,支持向量机,支持向量机类型的RBF网络和MLP网络RBF网络Gauss核函数；对所有核相同，由设计者预先指定；隐层节点的数量由支持向量的个数自动决定；中心由支持向量的值自动决定。单隐层MLP网络Sigmoid核函数，其中只有一些特定的，值满足Mercer定理；隐层节点的个数由支持向量的个数自动决定；隐节点的权值由支持向量的值自动决定。,支持向量机,支持向量机设计举例 XOR问题训练样本：方法一：选择非线性映射函数：将二维输入样本映射到一个六维特征空间。（1）求极值满足约束条件：(即必要条件2:),支持向量机
8、,支持向量机设计举例 XOR问题（续）方法一（续）：对 求导并令导数为零，得到下列联立方程组：解得极值点为，。可见4个样本都是支持向量。（2）计算最优权值和偏置值：,支持向量机,支持向量机设计举例 XOR问题（续）方法一（续）：（3）支持向量机的最优分界面为：,支持向量机,支持向量机设计举例 XOR问题（续）方法二：选择核函数为：将 和 代入上式，核函数可表为：将各训练样本代入，可计算出4*4对称矩阵为：9 1 1 1 K=1 9 1 1 1 1 9 1 1 1 1 9（1）用拉格朗日乘子法求极大值点：,支持向量机,支持向量机设计举例 XOR问题（续）方法二（续）：对 求导并令导数为零，得到下列联立方程组：解得极值点：。由于4个样本都是支持向量，隐层应有4个节点，各节点的输出为：，（2）计算最优权值和偏置值：其中,支持向量机,支持向量机设计举例 XOR问题（续）方法二（续）：（3）支持向量机的最优分界面为：即:将 和下式()代入上式 整理后有:,支持向量机,思考题,从结构、学习、功能和性能等方面，对含单隐层MLP网络、RBF网络和SVM网络进行详细比较，并结合自己的研究领域讨论它们的应用前景。,
