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1、习题十 1设G是一个(n,m)简单图，证明：m Cn2,等号成立当且仅当G是完全图。证明：已知G是简单图，每对结点间最多一条边，故m Cn2。其次，当G是完全图时，每对结点间都有一条边，即m=Cn2,反之亦然。,证明：在不少于2人的一群人中，至少有2个人这群人中有相同数目的朋友。证明：可转化为图论问题，以人为结点，如果2人是朋友关系，就对应的2个结点之间连一条边。问题转化为求简单图G中有至少2个结点度相同。如果不是如此，n个结点的度只能在0,1,2,n-1中取值，但0度和n-1度不能共存，因此，要么是0,1,2,n-2，要么是1,2,n-1。据抽屉原理，必有至少2个结点的度相同。,证明：在(n
2、,m)图中，2m/n 证明：对任何v V，d(v),d(v),即 n 2m n，即 2m/n,习题十 4,习题十 6,设G是(n,m)简单二部图，证明：m n2/4证明：这个二部图两部结点数分别设为k和n-k,其边数m(n-k)k n2/4,若GG，称G是自补图。确定一个图为自补图的最低条件；画出一个自补图来。解：若GG，n阶图G的边数应为Kn边数的一半，即m=n(n-1)/4,一个图为自补图的最低条件可设为结点数须为4k或4k+1。例如：当k=1时：,习题十 9,判别图中两图是否同构，并说明理由。解：两图不同构。因为如果同构，两图中唯一的3度结点应对应，但左图3度点的邻接结点度数分布是2，1
3、，1，而右图的为2，2，1，不对应。,习题十 10,若U和V是图G中仅有的两个奇数度结点，证明 U和V必是连通的。证明：如果U和V不连通，则应各属一支，但此时它们所在支只有唯一的奇数度结点，与图论基本定理推论矛盾。,习题十 15,证明：G是二部图当且仅当G的回路都是偶长回路。证明：（）当G是二部图时，设其二部划分为，则任何起于X部结点的回路应是C=x1y1x2y2 xkykx1的形式，其长度为2k，即是偶长回路。（）当G的回路都是偶长回路时，设G连通，任取定一个结点u，构造集合X=x V且x到u的最短道路长度为偶数Y=V-X首先，u X，所以X，其次，X中无邻接结点，否则设x1x2 E，则可得
4、出G中存在奇长回路，矛盾。同理可证Y中无邻接结点。即是G的二部划分。,习题十 16,设G=（V，E）是点度都为偶数的连通图，证明：对任何v V，(G-v)d(v)证明：设G-v有k支，G1G2 Gk，则每支和v至少有2边相连，所以(G-v)d(v),习题十 19,求出图的邻接矩阵、可达矩阵、强分图和关联矩阵。,解：邻接矩阵A=可达矩阵P=P PT=所以强分图有：a,b,c,d,e,f,g,0 1 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 01 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 10 0 0 0 1 1 0,1 1 1 1 1 0 01 1 1 1 1 0 01 1 1 1 1 0 01 1 1 1 1 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 10 0 0 0 1 1 1,1 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 1,a b c d e f g,a b c d e f g,a b c d e f g,ab c d e f g,ab c d e f g,ab c d e f g,a,b,c,d,e,f,g,习题十 30,
