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1、2.1.2 空间中两直线的位置关系,同一平面内的两条直线有几种位置关系？,相交直线（有一个公共点）,平行直线（无公共点）,复习引入,两条笔直的路相交,两路相交,立交桥,立交桥中,两条路线AB,CD,既不平行，又不相交,要用数学的眼光看世界,在如图所示的正方体的棱所在的直线中，你能找出一对既不相交也不平行的吗？,很显然，由初中学习的平面几何拓展到高中学习的立体几何，两条直线出现了第3种位置关系-既不平行也不相交，你能画出它们的图像吗？,直观图的画法,直观图的画法,观图的画法,分别在两个相交平面内画,异面直线的定义：,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,画法：(利用平面作为衬托),异面直线
2、,两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.,1.异面直线的定义:,不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）。,两直线异面的判别一:两条直线 既不相交、又不平行.,注1,1、相交,2、平行,只有一个公共点,没有公共点,在同一平面,空间中两直线的三种位置关系,3、异面,没有公共点,不同在任一平面,按平面基本性质分,共面,相交直线,平行直线,不共面,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,空间中直线与直线之间的位置关系,发挥你的想象力:,练习1：下列说法是否正确（1）,则 与 是异面直线（2）不同在平面 内，则
3、与 是异面直线,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,不同在平面 内,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,练习,判断下列各命题的正误：,1没有公共点的两条直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,2平面内一点与平面外一点的连线，和平面内的直线一定是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,3分别在两个平面内的两条直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,4在空间既不平行也不相交的直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,5和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,6不在平面
4、 内的两条直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,7不可能在同一平面内的两条直线是异面直线,练习提升,“a，b是异面直线”是指ab=,且a不平行于b；a 平面，b 平面 且ab=a 平面，b 平面 不存在平面，能使a 且b 成立,1、,上述结论中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对,C,C,3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线4、一条直线和两条异面直线中
5、的一条平行,则它和另一条的位置关系是()（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面,D,D,探究,下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对,3,直线EF和直线HG,直线AB和直线HG,直线AB和直线CD,3.异面直线所成的角,在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.,在空间,如图所示,正方体ABCDEFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,(2)问题提出,(1)复习回顾,(3)解决问题,异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线 a,b,经
6、过空间任一点O作 直线 aa,b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,O,思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?,(4)理论支持,：我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?,观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边 a,b,c,d,e,之间有何关系？,ab c d e,公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行,平行线的传递性,推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平
7、行,：在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”空间中这一结论是否仍然成立呢？,定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,观察:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,ADC与A1D1C1,ADC与A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小 关系如何?,思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小 是否改变?,aa,a a a a(公理4),解答：如图,设a 与 b 相交所成的角为1,a 与 b 所成的角为2,同理 bb,1=2(等角定理),答:这个角的大小与O点的位置无关.,
8、三、异面直线所成角的定义：,1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分 别引直线a1a，b1b。我们把直线a1和b1所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,b,为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。,2.异面直线a和b所成的角的范围：,如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。,因此，异面直线所成角的范围是（0，,3、特例：,下图长方体中,平行,相交,异面,点击旋转长方体,BD 和FH是 直线,EC 和BH是 直线,BH 和DC是 直线,(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?,4,分别是：CG、HD、GF、HE,(1)说出以下各对线段的位置关
9、系?,例1,例2.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。,解：（1）与直线BA1成异面直线有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D,（2）B1BC1CA1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角易求得所成的角为,例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形,例3.如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？,连接HA、AF，,(2)连接FH，,四边形BFHD为平行四边形，HFBD,HF
10、O(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角,则AH=HF=FA,AFH为等边,求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角,如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,解答：,课堂练习1,如图，正方体中，求A1B1与C1C所成的角AD与B1B所成的角A1D与BC1所成的角D1C与A1A所成的角A1D与AC所成的角,课堂练习2,1.空间两直线的位置关系：,定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线,小结：,
