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1、,3.1.4空间向量的 正交分解 及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,1.平面向量基本定理：,3.平面向量的正交分解及坐标表示,2.正交分解,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组x,y,z使得,探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？,于是存在三个实数x，y，z，使,所以P=xa+yb+zc.,注意：空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，反之基底
2、必须是不共面向量，零向量当然不能作基底。,空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,其中 叫做基向量,例1、已知向量a，b，c是空间的一个基底求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底,二、空间向量直角坐标系,其中(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.起点在坐标原点时，终点A点的坐标就是向量p的坐标,x,y,z,O,A(x,y,z),e1,e2,e3,Q,B,C,3.空间向量的坐标表示,p,3.1.5 空间向量 运算的 坐标表示,平
3、面向量运算的坐标表示：,一复习回顾,则:,(2),（3）,（4）,那么，空间向量运算的坐标表示又怎么样呢？,（一）向量的直角坐标运算,二、讲授新课,解:,例2若,1、向量的长度（模）公式,（二）向量的模与夹角,在空间直角坐标系中，已知、，则,推广：,2.两个向量夹角公式,例3.求下列两个向量的夹角的余弦：,三、空间向量坐标的综合应用,已知、，求：线段 的中点坐标和长度；,解：设是的中点，则,点的坐标是.,练习：已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足下列条件的点D的坐标（1）DB/AC,DC/AB(2)DBAC,DCAB且AD=BC,解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则,如图,在正方体中，求与所成的角的余弦值.,练习2、已知 垂直于正方形 所在的平面,分别是 的中点,并且,求证:,证明:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则,
