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1、,空间解析几何,第六章,4.空间中的平面与直线,空间中的平面及其方程。,空间直线及其方程。,1、平面的点法式方程,几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系.,任取平面上一点M(x,y,z).,一、空间中的平面及其方程,(A,B,C)(xx0,yy0,zz0),=A(x x0)+B(y y0)+C(z z0),=0.,即平面上任意点M(x,y,z)都满足方程(1).,反之若(x,y,z)满足(1)，则由(1).,(1),我们称垂直于平面 的任何非零向量为的法方向或法向，,A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0,法
2、点式方程,解,所求平面的点法式方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,一般地，设平面 过M1,M2,M3三点,M1,M2,M3不共线.即,则得平面方程为：,即,平面的三点式方程.,2、平面的一般方程,由点法式方程,法向量,平面的一般（式）方程。,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,设平面：,由过原点知,所求平面方程为,解,3、平面的截距式方程,4、点到平面的距离,解：如图,M1,N,M0,设平面:Ax+By+Cz+D=0.则,平面上点M1(x1,y1,z1)满足,A1
3、x+B1y+C1z+D1=0.,即,即,点到平面的距离公式,5、两平面的夹角,我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了.现在讨论两平面间的关系.,一般说来，两平面的关系有以下几种,两平面平行不重合.,两平面平行重合.,两平面不平行相交,两平面法向一致但无交点,两法向一致且有交点,两平面垂直,相交但不垂直,两法向垂直,两法向不共线也不垂直,桥梁,法向夹角,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0.,如何求其间夹角？,分别为 1，,2,的法向，,故,A1A2+B1B2+C1C2=0;,两平面平行,=,=,=,=,=,A1:A2=B1:B2=C1:C2.,两平面
4、垂直,A1:A2=B1:B2=C1:C2.,0,0,0,即,平行不重合,重合,A1:A2=B1:B2=C1:C2 D1:D2;,A1:A2=B1:B2=C1:C2=D1:D2.,特殊情形：,例5.设平面 过点M1(1,0,0),M2(1,1,1)且与,平面1：x+y+z=0垂直，求平面.,而 过点M1,M2.故,解：,故得平面方程为,即,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，且夹角,解,两平面平行。,两平面不重合,二、空间直线及其方程,1.由直线上一点与直线 l 的方向决定的直线方程,如果一个非零向量平行于直线L，就称这个向量为直线 的一个方向向量,点 在 直线 l 上的充要
5、条件是,（1）式叫做直线 l 的向量式参数方程,直线的(坐标式)参数方程,将直线的参数方程中的参数 t 消去，则可得到,直线L的标准方程或对称式方程。,方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦,解,所以交点为,所求直线方程,两点式方程。,注：,2.直线的一般方程,若空间直线L为两平面,则,的交线，,空间直线的一般方程。,(不唯一),在直角坐标系下，两平面的法向量分别为,所以直线 l 的方向向量可取为,例 8 将直线L 化成对称式方程,解：平面 的法向量,平面 的法向量,求直线L上一点M0(x0,y0,z0),令x0=1 则,得 Y0=4,z0=4,所求直线L方程为,解,先作过点M且与已知直线 L
6、 垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,L,M,N,代入平面方程，得,交点,取方向向量,所求直线方程为,另解,L,M,L,再求过M与L的：,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,3.两直线的夹角,特别有:,例10 求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,4.直线到平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定其夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,直线和它在平面上的投影直,则直线与平面夹角 满足,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角,解:,为所求夹角,小结,空间平面,空间直线,一般形式,法点式,截距式,(三元一次方程),Ax+By+Cz+D=0.,交面式,对称式:,参数形式:,两点式:,(一般形式)：,三元一次方程组.,x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt;,关系,直线间夹角：,平面间夹角：,直线与平面间夹角：,直线在平面上的投影：,过直线的平面束中的,一条垂直于已知平面的平面,与已知平面的交线(交面式),点到直线的距离,点到平面的距离,Ax+By+Cz+D=0,数量积 向量积,平行,相交,垂直,
