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1、重点难点重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用难点：定理的灵活运用,知识归纳一、直线与平面平行1判定方法(1)用定义：直线与平面无公共点,二、平面与平面平行1判定方法(1)用定义：两个平面无公共点,3两条直线被三个平行平面所截，截得线段对应成比例,误区警示1应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结论，明确这个定理是干什么用的，具备什么条件才能用其中线面平行的性质定理是核心，证题时，找(或作)出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键，另外在证明平行关系时，常见错误是(1)“两条
2、直线没有公共点则平行”；(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”，不恰当的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来，解决的关键是先说明它们在同一个平面内,2注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在”等量词的含义3注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时，不是两平面内的任意直线，必须找或作出第三个平面与两个平面都相交，则交线平行应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相交”二字决不可忽视4要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情形,一、转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化二、解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据,例1已知
3、m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：若m，则m平行于平面内的任意一条直线若，m，n，则mn若m，n，mn，则若，m，则m上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号),解析：若m，则m平行于过m作平面与相交的交线，并非内任一条直线，故错；若，m，n，则可能mn，也可能m、n异面，故错；,答案：点评：解决这类问题首先要熟悉线面位置关系的各个定理，如果是单项选择，则可以从中先选最熟悉最容易作出判断的选项先确定或排除，再逐步考察其余选项要特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形等,(2010浙江理)设m，l是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm
4、，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm解析：两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.答案：B,例2(文)在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.,解析：(1)在ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF平面ACD.(2)在ABD中，因为ADBD，EFAD，所以EFBD.在BCD中，因为CDCB，F为BD的中点，所以CFBD.因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD平面E
5、FC.,又因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.(理)如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN平面DAE.,证明：(1)因为BC平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC.又BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF.又BFBCB，所以AE平面BCE.又BE平面BCE，所以AEBE.,故四边形AMNP是平行四边形所以MNAP，而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MNDAE.证法二：取BE中点G，连结GM、GN，GNBC，BCDA，GNDA，又GMAE，平面MGN平
6、面DAE，从而证明MN平面DAE.,四边形AGEF为平行四边形，AFEG，EG平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)连结FG.EFCG，EFCG1且CE1，四边形CEFG为菱形，EGCF.四边形ABCD为正方形，ACBD.又平面ACEF平面ABCD且平面ACEF平面ABCDAC，BD平面ACEF，CFBD.又BDEGG，CF平面BDE.,例3(2010山东青岛)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点(1)求证：平面AD1E平面BGF；(2)求证：D1E平面AEC.,证明：(1)E，F分别是棱BB1，DD1
7、的中点，BE綊D1F.四边形BED1F为平行四边形D1EBF.又D1E平面AD1E，BF平面AD1E，BF平面AD1E.又G是棱DA的中点，GFAD1.又AD1平面AD1E，GF平面AD1E，GF平面AD1E.又BFGFF，平面AD1E平面BGF.,ACBD，ACD1D，AC平面BDD1B1.又D1E平面BDD1B1，ACD1E.又ACAEA，D1E平面AEC.,(2010大连模拟)平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a、b，a、b、a、bD存在两条异面直线a、b，a、b、a、b,解析：在正方形ABCDA1B1C1D1中，取ABCD为，
8、ADD1A1为，B1C1为直线a，可知A错；如图(1)，l，a，al，可知满足B的条件，故B错；如图(2)，l，a，b，al，bl，满足a，b，故C错；由面面平行的判定定理知D正确答案：D,例4用平行于四面体ABCD一组对棱AB、CD的平面截此四面体(如图)(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；(2)如果ABCDa.求证：四边形MNPQ的周长为定值；,(3)如果ABa，CDb，AB、CD成角求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时点M的位置分析：(1)由AB平面MNPQ及线面平行的性质定理得到四边形一组对边平行，由CD平面MNPQ得到另一组对边平行(2)由平行得到比例关系，将四边形MNPQ
9、的两邻边的和用AB(CD)表达出来(3)利用正弦定理将四边形面积用两邻边表示，设四边形一个顶点(如M)到四面体的M所在棱的端点的距离为x(如AMx)，将面积表达为x的函数求极值,解析：(1)AB平面MNPQ.平面ABC平面MNPQMN.且AB平面ABC.由线面平行的性质定理知，ABMN.同理可得PQAB.由平行公理可知MNPQ.同理可得MQNP.截面四边形MNPQ为平行四边形,又ABCDa，MNMQa.平行四边形MNPQ的周长为2(MNMQ)2a定值(3)设ACc，AMx.由(1)得：,如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形ABCD所确定的平面外，且AA、BB、CC
10、、DD互相平行求证：四边形ABCD是平行四边形,分析：欲证四边形ABCD为平行四边形，须证其两组对边分别平行，欲证ADBC，从图中可见AD、BC是平面ABCD与平面AADD和BBCC的交线，故只须证平面AADD平面BBCC.ABCD同样可找到证明思路,解析：四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AABB，且AA、AD是平面AADD内的两条相交直线，BB、BC是平面BBCC内的两条相交直线，平面AADD平面BBCC.又AD、BC分别是平面ABCD与平面AADD、平面BBCC的交线，故ADBC.同理可证ABCD.四边形ABCD是平行四边形.,例5如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEB
11、BC2，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求三棱锥DAEC的体积；(2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上的确定一点N，使得MN平面DAE.,解析：(1)AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，则AEBC.BF平面ACE，则AEBF，BCBFB，且BC、BF平面BCE，AE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.,MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE，同理，GN平面ADE，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点,(文)(2010烟台中英文学校质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，
12、ABC60，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PAAB2.,(1)证明：BC平面AMN；(2)求三棱锥NAMC的体积；(3)在线段PD上是否存在一点E，使得NM平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由解析：(1)因为ABCD为菱形，所以ABBC，又ABC60，所以ABBCAC，又M为BC中点，所以BCAM而PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，又PAAMA，所以BC平面AMN.,(1)求证：平面PAC平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由,由勾股定理得ACCD，又PA平面ABCD，C
13、D平面ABCD，PACD，PAACA，CD平面PAC，又CD平面PCD，平面PAC平面PCD.(2)证明：作CFAB交AD于F，作EFAP交PD于E，连接CE，CFAB，EFPA，CFEFF，PAABA，平面EFC平面PAB，又CE在平面EFC内，CE平面PAB，,E为PD中点，故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE平面APB.,一、选择题1(2010山东文，4)在空间，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行答案D,解析当两平行直线都与投影面垂直时，其在内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面
14、与投影面相交但不垂直时，其在内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确,2(2010胶州三中)已知有m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是()A若m，n，m，n，则B若m，n，则mnC若m，mn，则nD若mn，n，则m答案D,解析A中两直线m与n相交时，才能得出结论，故A错；B中分别在两个平面
15、内的两条直线可能平行，也可能异面，故B错；C中n可能在平面内，故C错,AEHFGB四边形EFGH是矩形C是棱柱D是棱台答案D解析EHA1D1，A1D1B1C1，EHB1C1B1C1平面EFGH，B1C1FG，EHFG，四边形EFGH是矩形，是棱柱，故选D.,4如果直线l、m与平面、满足l，l，m和m，那么必有()Am且lmB且C且m D且lm答案D,1(2010寿光现代中学)已知直线m，n，l是互不重合的直线，平面，是互不重合的平面，给出下列四个命题：(1)m，lA，Am，则l与m不共面；(2)l，m是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；(3)若l，m，lmA，l，m，则；(4)若l，m，则
16、lm.其中为真命题的是(),A(1)(2)B(1)(2)(3)C(1)(3)D(2)(3)(4)答案B解析根据异面直线的定义，容易判断命题(1)正确；对于命题(2)，对于l，m，故在平面内可找到两条直线l，m分别与l，m平行，同时由于l，m是异面直线，故l，m必定为相交直线，再由nl，nm，可得nl，nm，故n；对于命题(3)，根据两平面平行的判定定理可知其为真命题；对于命题(4)，易知l，m的位置关系是不确定的综上可得，真命题是(1)(2)(3),2(2010西城测试)如图，平面平面，l，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是(),A当CD2AB时，M，N两点不可能重合BM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行答案B解析当M、N重合时，四边形ABCD为平行四边形，故ACBDl，此时直线AC与l不可能相交，B正确，易知A、C、D均不正确,点评D选项可用反证法证明：假设MNl，过N作AB綊AB可知MNBB，BBl，又四边形ACBD为平行四边形，ACDB，由线面平行的判定定理和性质定理知，DBl，B、D、B共线，A、B、C、D共面，这与AB、CD是异面直线矛盾,
