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1、利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,学习提纲,二、立体几何问题的类型及解法,1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。,1、直线的方向向量；2、平面的法向量。,一、引入两个重要空间向量,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,2.平面的法向量,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于
2、平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,n,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？,二.立体几何问题的类型及解法,1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.若ab,即a=b,则ab.若ab,即ab=0,则ab,a,b,a,b,(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,
3、平面的法向量为n,且L.若an,即a=n,则 L 若an,即an=0,则a.,n,a,n,a,L,L,(3)平面与平面的位置关系平面的法向量为n1,平面的法向量为n2 若n1n2,即n1=n2,则若n1n2,即n1 n2=0,则,n2,n1,n1,n2,3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.,a,b,n,(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(
4、列):根据na=0且nb=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z=1,解得:,得:,由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）,例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面
5、ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证:C C1BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,证明：设 a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是 a b=c(a b)=ca cb=|c|a|cos|c|b|cos=0 C C1BD,例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,2),C1
6、(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E 平面DBC1(2),而 n=-2+0+2=0AB1 平面DBC1,利用向量解决 空间角问题,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,小结,(2)直线与与平面所成的角若n是平面的法向量,a是直线L的方向向量,设L与所成的角,n与a所成的角 则=-或=-于是,n,n,a,a,（3）二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面
7、角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.,二面角的范围：,关键：观察二面角的范围,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,3.二面角：,关键：观察二面角的范围,例1如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,求对角线DB1与CM所成角的余弦值.,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,那么 M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),cos=|cos|,设DB1与CM所成角为,与 所成角为,于是：,练习1：,所以 与 所成角的余弦值为,解
8、：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,例2正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。,解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)得 由，解得，取y=,得n=(3,0)，设 与n夹角为而故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30.,练习2：,在长方体 中，,例3 在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
9、B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为.,练习3,设平面,空间向量之应用3,利用空间向量求距离,B,A,a,M,N,n,a,b,一、求异面直线的距离,例1在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C
10、1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得 n=(-1,-1,2).,异面直线AC1与BD间的距离,A,B,C,C1,E,A1,B1,练习1,A,B,C,C1,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,2.点到平面的距离A为平面外一点(如图),n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH.=.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.,n,A,B,H,例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.,z,x,y,C,C1,A
11、1,B1,A,B,解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则 C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(-,0,1).,或,或,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.,练习2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,D,A,B,C,G,F,E,例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F
12、,E,三、求直线与平面间距离,正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的距离,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,练习3:,G,例4、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,四、求平面与平面间距离,练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。,小结：,1、怎样利用向量求距离？,点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）。,点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。,直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。,平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。,异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。,
