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1、利用空间向量 解决空间角问题,一、复习引入,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,a,b,O是空间中的任意一点,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，,B,A,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所
2、成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L则L与所成的角是直角，若L/或 L，则L与所成的角是的角。,A,B,O,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这
3、两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,A,L,B,O,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，,B,B,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角。,2.方法：,步骤：,作（找）,证,求,1.数学思想：,几何法,向量法,夹角公式：,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,例1：,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,斜线与平面所成角的范围：,思考：,结论：,例2：,x,y,z,解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz,二面角的范围：,注
4、意:法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,设平面,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,D,C,B,A,3.二面角：,一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,1、如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90，SO面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。(1)求异面直线SA和OB所成的 角的余弦值(2)求OS与面SAB所成角的余弦值(3)求二面角BASO的余弦值,拓展训练,所以OS与面SAB所成角的余弦值为,所以二面角BASO的余弦值为,()证明 如图1-7，BDAC，BDAF,ACA
5、FA，BD平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影为OF AOAF1，AOMF是正方形，OFAM，由三垂线定理得DFAM 同理FBAM，DFFBF，AM平面BDF,【例4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=60，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点()证明：平面PED平面PAB；()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值,【例4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=60，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点()证明：平面PED平面PAB；()求
6、二面角P-AB-F的平面角的余弦值,【例4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=60，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点()证明：平面PED平面PAB；()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值,【例4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=60，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点()证明：平面PED平面PAB；()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值()证明 底面ABCD为菱形，ABAD，DAB=60 DAB为正三角形 又E为AB中点，ABDE 又PD平面ABCD，PE在平面ABCD上的射影为DE，ABPE（三垂线定理）PEDEE，平面PAB平面PED,如图1-10，连结EF EF 面PED，ABEF PEF为二面角P-AB-F的平面角 设PDADa，则PFFD 又DAB为正三角形，E为AB中点，ABADa，,作业：,1.在长方体 中，,2.正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,
