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1、1,小结 思考题 作业,预备知识,概念的引入,概念与性质,对坐标的曲面积分的计算法,两类曲面积分之间的联系,surface integral,第五节 对坐标的曲面积分,2,观察以下曲面的侧,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,1.有向曲面,通常光滑曲面都有两侧.,如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等.,(假设曲面是光滑的),一、预备知识,3,有两侧的曲面.,规定,(1)双侧曲面,2.曲面的分类,法向量的方向来区分曲面的两侧.,4,(2)单侧曲面,莫比乌斯(Mobius)带.,B、C 粘在一起形成的环,不通过边界可以,这在双侧曲面上是不能实现的.,决定了侧的曲面称为,它是由一张长方形纸条A
2、BCD,扭转一下,将A、D粘在一起，,行带.,小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去.,有向曲面.,Mobius(1790-1868)19世纪德国数学家,5,3.有向曲面在坐标面上的投影,设是有向曲面.,恰好等于 与坐标面xOy的二面角.,假定,的余弦,上各点处的法向量与 z轴的夹角,有相同的符号.,在有向曲面,取一小块,6,类似地,可定义 在yOz面及zOx面的投影:,希自己写出,在xOy面上的投影,在xOy面上的投影区域的面积附以一定的,实际上就是,正负号.,的二面角.,7,流向曲面一侧的流量.,流量,实例,(为平面A的单位法向量),(斜柱体体积),(1),流速场为常向量,有向平面区域 A,
3、求单位时间流过A的流体的质量,(假定密度为1).,二、概念的引入,8,(2)设稳定流动的不可压缩流体,给出,函数,(假定密度为1),的速度场由,当,不是常量,曲面,求在单位,时间内流向,指定侧的,流体的质量,是速度场中的一片有向曲面,9,分割,则该点流速为，,法向量为,10,求和,取近似,该点处曲面的单位法向量,高,底,通过流向指定侧的流量,11,取极限,12,1.定义,三、概念与性质,定义,13,或称,被积函数,积分曲面,存在,则称此极限为,第二类曲面积分.,记作,即,如曲面为封闭曲面:,14,类似可定义,2.存在条件,对坐标的曲面积分存在.,在有向光滑,连续,15,3.组合形式,4.物理意
4、义,如:上述流向指定侧的流量为:,16,5.性质,(1),(2),(3),当曲面,(4),是母线平行于z轴的柱面时,表示相反的一侧,17,上侧,四、对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面是由,的曲面,在xOy面,上的投影区域为,函数,具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在上连续.,18,即,19,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的,侧.,20,计算对坐标的曲面积分时:,(1)认定对哪两个坐标的积分,将曲面表为这两个变量的函数,并确定的投影域.,(2)将 的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.,(3)根据的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.,21,解,投影域,例,计算,其中
5、是球面,外侧在,的部分.,22,23,例,其中是,所围成的正方体的表面的,先计算,由于平面,都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.,解,三个坐标面与平面,外侧.,24,x=a面在yOz面上的投影为正,而,x=0面在yOz面上的投影为负.,投影域均为:,0ya,0za,故,由 x,y,z 的对等性知,所求曲面积分为 3a4.,后两个积分值也等于a4.,25,设有向曲面是由方程,函数,具有一阶连续偏导数,给出,五、两类曲面积分之间的联系,在xOy面上投影区域为,对坐标的曲面积分为,被积函数 R(x,y,z)在上连续.,26,曲面的法向量的方向余弦为,对面积的曲面积分为,所以,(
6、注意取曲面的两侧均成立),27,两类曲面积分之间的联系,类似可得,不论哪一侧都成立.,其中,是有向曲面在点,处的法向量的方向余弦.,28,解,例,下侧.,29,由对称性,30,例,其中,解,法一,直接用对坐标的曲面积分计算法.,且其投影区域分别为,由于取上侧,在第一卦限部分的,上侧.,面的投影,都是,正的,31,取上侧,32,法二,利用两类曲面积分的联系计算.,取上侧,锐角.,33,34,若分片光滑的闭曲面,0,其中,注,x的偶函数,x的奇函数,曲面不封闭也可以.,取外侧(内侧仍成立),那末,关于yOz平面对称,35,例,其中:,解,关于yOz面对称,被积函数,关于x为偶函数.,下侧.,关于zOx面对称,被积函数,关于y为偶函数.,36,原式=,37,解,1994年研究生考题,计算,6分,求,练习,而,38,求,39,或,40,关于曲面侧的性质,六、小结,对坐标的曲面积分的计算,对坐标的曲面积分的概念,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想:化为二重积分计算;,对坐标的曲面积分的物理意义,注意:,“一投,二代,三定号”,对坐标的曲面积分的性质,两类曲线积分之间的联系,方法:,41,思考题,是非题,是以原点为中心的球面.,由对称性知,42,思考题解答,非,因为上半球面,下半球面,故,43,作 业,习题11-5(228页),3.(1)(2)(4)4.,
