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1、1,常力沿直线所作的功,分割,问题11.2:变力沿曲线所作的功,11.2 对坐标的曲线积分,11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质,2,求和,取极限,取近似,取,即,或,3,定义11.2,设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑,用L上的点,把L分成n个有向小弧段,曲线弧,在L上有界.,上任意取定的点.,如果当各小段长度的最大值,4,的极限总存在,记作,则称此极限为函数,在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线积分,或称第二型曲线积分.,即,类似地定义,称,在有向曲线弧 L上对坐标y 的曲线积分.,5,在应用中常出现组合形式,其中,或向量“点积”形式,沿闭曲线L的曲线积分记作,6,物理意义,沿平
2、面曲线L所做,的功为,类似地,可定义空间向量函数,沿着空间曲线L的第二型曲线积分为,其中,7,对坐标的曲线积分具有下列性质:,沿平面曲线L的第二型曲线积分存在,则,设,(1)线性性质:,积分存在,且,沿曲线L的第二型曲线,其中 为任意常数.,8,L1,L2,(2)可加性:,且它们的方向相应地一致,则,(3)有向性:,有向曲线,则,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!,设L是有向曲线,9,定理11.2 设,在有向曲线弧L上连续,且,11.2.2 第二型曲线积分的计算,则曲线积分,10,则,则,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.,曲线方程的其他情形,11,
3、(3)对于空间曲线,12,例 计算,解,(1)取 x为积分变量,13,(2)取 y为积分变量,14,解(1),例 计算,其中,A点对应,B点对应,15,B点对应,O点对应,16,(2),O点对应,A点对应,问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同,积分结果也不同.,17,解(1),A点对应,L的参数方程为,B点对应,其中,例 计算,18,问题:被积函数相同,起点和终点也相同,(2),虽然路径不同,但积分结果相同.,19,解,L的参数方程为,其中L为圆周,例 计算,20,其中是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.,直线AB的方程为,解,化成参数式方程为,于是,例 计算,A点
4、对应,B点对应,21,(1)L是上半圆周 反时针方向;,解,A点对应,(2)L是x轴上由点 到点 的线段.,(1)中L的参数方程为,B点对应,其中,原式=,练习,22,(2)L的方程为,原式=,(2)L是x轴上由点 到点 的线段.,其中,23,11.2.3 两类曲线积分之间的关系,设A,B分别是曲线L的起点和终点,L的长度为l.,可以表示为以s为参数的参数方程,则曲线L,于是,24,其中,方向余弦.,即,这就是平面上两类曲线积分之间的关系.,25,类似地,空间曲线 上的两类曲线积分有如下关系,其中,处的切线向量的方向余弦.,26,例 把对坐标的曲线积分,解,所以,化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线,从点(0,0)到(1,1).,由,27,作 业,习题11.2(276页),1.(1)(4)2.(1)(2)3.,
