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1、第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,第三节 洛必达法则,一.未定式,二.洛必达法则,本节主要内容:,三.其他类型未定式的极限,一、未定式,例如,定理3.3.1（洛必达法则）设函数 f(x)、g(x)满足：（1）；（2）f(x)、g(x)在x0的某去心邻域 内可导，且 g(x)0；（3）（A为有限数，也可为无穷大）则,二、洛必达法则,1)应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数.,2)上述定理对“”型或“”型的极限均成立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后才能使用洛必达法则。,定理的证明,不是未定式不能用
2、洛必达法则!,例1 求,解,方法一：,例2 求,方法二：,解,例3 求,解,3)在很多情况下，要与其它求极限的方法（如,例如,而,才能达到运算简捷的目的.,等价无穷小代换或重要极限等）综合使用，,注意：,例4 求,解,例5 求,可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。,解,例6 求,解,例7 求,使用n次洛必达法则,解,例8 求,解,4)若 不存在(),洛必达法则失效！,例如,极限不存在,?,注意,例9 求,不存在(),洛必达法则失效！,解,例10 求,能用等价无穷小代换的先代换,解,例11 求,分母1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”,解,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型：或,步骤：,三、其他类型未定式的极限,关键：,例12 求,注意到：求导比 求导简单,解,例13 求,解,步骤：,例14 求,解,例15 求,解,步骤：,例16 求,解,例17 求,解,例18 求,解,例19 求,原式,解,
