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1、彭富连 沈竹制作,基础高等数学电子教案,湖南师范大学数学与计算机科学学院,主编 彭富连 刘迪芬,湖 南 教 育 出 版 社,基础高等数学,前 言,一、文科生学习高等数学的目的,高等数学是理科、工科、经济、管理、医学类学生的一门先行的基础理论课；随着世界进入信息时代，计算机日益普及,高等数学已经深入到社会的各个领域。作为加强大学生文化素质的一项措施,高等数学已被列入到文科的教学计划之内。因此,高等数学不只是理工科学生的,一方面使学生获得相应数学基础知识基本理论和基本计算方法，提高学生的数学素质；,必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。,文科生开设高等数学的目的:,另一方面使学生学会一定的
2、数学思维方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。,对文科生来说，后者显得更为重要。,二、文科生开设高等数学的内容,本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个部分内容：,微积分是人类二千年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础，理所当然的是本书的主体部分。,一元函数微积分,线性代数,概率统计初步,第一章 预备知识 第二章 极限与连续 第三章 导数与微分 第四章 中值定理与导数的应用 第五章 不定积分 第六章 定积分及其应用,重点:极限、导数、不定积分、应用,难点:极限、应用,三、重点、难点,1、牢固掌握基本概念、基本理论、基本计算方法;,四、要求,2、按质按量独立完成作业;不迟
3、到,不缺课.,能熟练地用所学的方法去解决一些实际问题.,五、高等数学学习方法,四步学习法：,六、参考书,彭富连、刘迪芬主编：基础高等数学学习指导及习题解答 湖南教育出版社出版,彭富连主编：高等数学学习辅导 湖南师大出版社出版,彭富连主编：高等数学（上）湖南师大出版社出版,第 一 章,预备知识,1 集合2 函数3 函数的性质4 反函数与复合函数5 初等函数,基本要求,1、了解集合的概念及区间和邻域的表示法;,1 集合,1.1 集合的概念及运算,1.集合 具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,N-自然数集,A=B,平面上全体点组成的集合,记作,(直积),交换律,分配
4、律,对偶律,(1)实数集的构成,1.2 区间与邻域,(2)实数的点的表示 数轴：,X,O,a,1,称为开区间,称为闭区间,(3)区间,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.设 a,b R,且 a b.,1.2 区间与邻域,集合,集合,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,(4)邻域,定义,习题一 5.用区间表示下列不等式的解集,并在数轴上表示出来:(4)0|2x+1|2 解:6.开区间(1,3)是()(A)点 3 的邻域(B)点 2 的 1 邻域(C)1 的邻域(D)以 2 为中心,1.5 为半径的
5、邻域,B,2 函数,(1)常量与变量,动点,2.1 函数的定义,定点,（2）函数的定义,落地时间为t=T,那么与之间的依赖关系由公式,(1),确定,其中为g重力加速度.,例1自由落体问题 设物体下落的时间为t,下落的距离为s,假定开始下落的时刻为,在这个关系中,距离s随着时间t的变化而变化.,函数，记作,学中所介绍的实数集到实数集的映射.,称为函数的值域.,函数值全体组成的数集,一般说来,函数,的图形是一条平面曲线.,而与自变量和因变量用什么字母表示无关.,函数概念的两要素,注2 函数的定义域一般分为两种:,若抽象地研究由表达式(公式)表示的函数,求函,数的定义域是指使表达式有意义的一切实数组
6、成的,定义域-自变量的变化范围；,注1 函数的表示法只与定义域和对应关系有关,函数的定义域要根据问题的实际意义确定.,集合,称为函数的自然定义域.而对于一些实际问题,为了使表达式有意义,常遇到的四种情况是:,(1)分式中的分母不能为零;,(2)偶次方根号下的表达式不能为负值;,(3)对数的真数必须大于零;,解,的定义域为,解 当且仅当,或,2.2函数表示法,分段函数.,表格法、图示法、解析法(也叫公式法).,常用的表示方法有:,用解析法表示的函数可以由一个数学式子,给出,也可以在其定义域的不同部分用不同的,数学式子表示,用这种方式表示的函数称为,例5 符号函数,值域为,例6 取整函数 y=x,
7、x表示不超过 的最大整数.,图形为阶梯曲线,例7 设计一个体积为V的有盖圆柱形容器，求其表面积A和底半径R之间的函数关系。,解 设圆柱形容器底的高为H，于是表面积为,代入上式得,定义域为,2.3 建立函数关系,例8(单利问题)设一笔贷款的本金为p0元,年利率为 r,贷款期限为 x 年,求本利和 P.,解:一年的利息为p0r元,则 x 年的单利为 p0rx元,本利和为 P=,p0,+p0rx,=p0(1+rx)元,例9(复利问题)设一笔贷款的本金为p0元,年利率为 r,贷款期限为x 年,求本利和 Px.,解:贷款满一年后的本利和为 P1=p0(1+r)元,几个常用的经济函数:,设某种产品在某个时
8、间范围内,如果把除价格以外的因素看作不变,则需求量 可视为价格 的函数,销售 件产品的总收益函数为,例10 某民营企业的固定成本为12000元，每单位产出的可变成本为10元，产品的售价为每单位30元，求（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。,解,3 函数的性质,3.1 函数的有界性 设函数 f(x)的定义域为 X，数集 I X.如果存在正数 K，使得对于一切 x I，有|f(x)|K，则称函数 f(x)在 I 上有界。,否则称为无界。,设 y=f(x)的定义域为 X，对任意 x1，x2X，当 x1 x2 时（1）有 f(x1)f(x2)
9、，则称 f(x)在 X 上单调增加；,3.2 函数的单调性,（2）有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)在 X 上单调减少。,单调递增函数或单调递减函数统称为单调函数.单调递增区间与单调递减区间统称为单调区间,3.3函数的奇偶性:,有,奇函数的图形关于原点对称.,例：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x3 cos x（2）f(x)=x(1 x),解（1）函数 f(x)的定义域为 R,是关于原点的对称区间,f(x)=x3cos x 为奇函数。,（2）f(x)的定义域是关于原点的对称区间，,f(x)为非奇非偶函数。,3.4 函数的周期性,若存在一个正数T,通常说周期函数的周期是指其最小正周期
10、.,周期为T的周期函数的图形在每个长度为T的区间上的形状相同.,例如正弦函数 y=sin x 的基本周期为 2.,4 反函数与复合函数,4.1 反函数,习惯上用字母x 表示自变量,用字母y表示因变量,如果,将 y 与 x 对应,称这个定义在Y上的对应,的定义域.,对称.,反函数存在定理：单调函数一定存在反函数,且单调递增(递减)函数的反函数也是单调递增(递减)的.,直接函数的图形与其反函数的图形关于直线,求反函数的一般步骤为:,再将 x 与y 对换,即得所求函数的反函数为,例如,变量.,称u为中间,4.2 复合函数,求复合函数定义域的步骤是“从外到内”(即由外层到内层考察相应函数在满足前一层次
11、条件下的定义域,直到最内层),求出使算式有意义的一切实数x.,复合函数形象表示法:,的定义域为,的定义域.,。故,于是由原式得,故,5 初等函数,5.1 基本初等函数(一)常量函数 y=c（c 为已知常数）定义域为 R，值域=c，图象为一条平行 X 轴的直线。,(二)幂函数,y=x（是一个非零常数）（1）当为正整数时 例：看=1、2、3 时,（2）当为负整数时 例：看=1、2 时,(二)幂函数 y=x（是一个非零常数）,y=a x（a0 且 a1）定义域为 R，值域 R+,(三)指数函数,以10为底的常用对数：y=lg x.以 e 为底的自然对数：y=ln x.,(五)三角函数,倒数关系：ta
12、nx cotx=1,sinx cscx=1,cosx secx=1.平方关系：sin2x+cos2x=1,tan2x+1=sec2x,1+cot2x=csc2x.,一些基本关系式：,（2）正切函数 y=tan x,余切函数 y=cot x,定义域 正切为 x k/2 kZ 值域为 R单调性：不定有界性：无界奇偶性：奇函数周期性：是 周期为（3）正割函数 y=sec x=1/cos x 余割函数 y=csc x=1/sin x,(六)反三角函数,y=arcsinx是正弦函数 y=sinx 在 上的反函数，叫做 反正弦函数。其定义域是-1,1，值域是，并在定义域上单调递增.,由于三角函数是周期函数
13、，对于值域内的每一个 y 值，都有无穷多个 x 值与之对应，因此必须限制其在单调区间内才能建立反三角函数。,反余弦函数,解,提示:讨论一个复合函数的分解问题,即讨论它是由哪些基本初等函数或简单函数(指由常数和基本初等函数经四则运算所得到的函数)复合而成,分解步骤为由外逐层依次向内分解.,练习：指出下列函数由哪些简单函数复合而成：,解：,由基本初等函数,否则称为非初等函数.,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数.,初等函数的图形可由基本初等函数的图形通过叠加、伸缩、平移等手段得到。初等函数是高等数学的主要研究对象。,5.2 初等函数,习题一,P17,2.5.(3)(5);8.(1)(3)9.(2)(4)(6)12.(1)(3)13.(1)(3)(4)(5)(7)14.15.(3)(4)(6)16.,
