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1、第十一章 习题课（一）,曲线积分部分,重点掌握：1.第一类曲线积分的计算,2.第二类曲线积分的计算,3.应用,一、基本内容,区域 D 分类,单连通区域(无“洞”区域),复连通区域(有“洞”区域),域 D 边界L 的正向:域的内部靠左,定理1.设闭区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,(格林公式),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,格林公式,基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,“变量参数化，一小二起下”,(1)利用对称性及重心公式简化计算
2、;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);,(4)利用斯托克斯公式求曲线积分（空间）（第七节）;,(5)利用两类曲线积分的联系公式.,基本技巧,(1)如果曲线弧L关于y轴对称,且被积函数关于x,为奇函数,则曲线积分为零.,(2)如果曲线弧L关于y轴对称,且被积函数关于x,为偶函数,则曲线积分为,一半曲线上的积分的2倍.,(3)如果曲线弧L关于x，y轴均对称,且被积函数,关于x为偶函数,关于y为偶函数，则曲线积分,为四分之一曲线的积分的4倍.,第一类曲线积分的对称性定理：,第二类曲线积分,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,利用格林公式求解对坐标的
3、曲线积分,（1）适宜范围：,当平面曲线L封闭时，直接利用格林公式.,但必须注意使用条件（L取正向边界，,若L不是封闭的，直接计算又困难，可以添加,、,在闭区域D上连续，D上可以不是单连通域）,辅助曲线C，使积分曲线封闭，从而利用格林公式，,但须注意将所加曲线积分减去,利用格林公式求解对坐标的曲线积分,（2）注意：,利用格林公式将曲线积分化为二重积分时，应,若L是D的负向边界，则利用格林公式前，,特别注意两种积分计算的不同：曲线积分可以将L的,表达式直接代入积分式，而二重积分却不能直接代入,边界线方程.,应先作变换,再对积分,用格林公式.,带奇点的曲线积分的处理方法.,说明:,根据定理2,若在某
4、区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,二、典型例题,1.计算,其中L为圆周,提示:利用极坐标,原式=,说明:若用参数方程计算,则,解,例3.计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关,故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:,(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,思考题解答:,(1),(2),P247 6.,设在右半平面 x 0 内,力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,P247 11.,求力,沿有向闭曲线 所作的,功,其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,方法2,利用斯托克斯公式（见第七节）,
