简谐运动的表达式动力学表达式.ppt

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1、选修3-4第十二章 机械振动 机械波第1课时 机械振动考点自清一、简谐运动1.概念 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规 律，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲 线，这样的振动叫做简谐运动.,2.简谐运动的描述（1）描述简谐运动的物理量 位移x：由 指向 的 有向线段表示振动位移，是矢量.振幅A：振动物体离开平衡位置的，是标量，表示振动的强弱.周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.,平衡位置,振动质点所在位置,最大距离,一次,全振动的次数,全振动,(2)简谐运动的表达式 动力学表达式：

2、F=-kx 运动学表达式：x=Asin(t+)(3)简谐运动的图象 物理意义：表示振子的位移随时间变化的规 律，为正弦（或余弦）曲线.从平衡位置开始计时，函数表达式为x=Asint,图象如图1.,图1,从最大位移处开始计时，函数表达式为x=Acost，图象如图2.3.简谐运动的能量 简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 有关，越大，能量越大.,图2,振幅,振幅,二、简谐运动的两种基本模型,三、受迫振动和共振1.受迫振动：物体在 作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于 的周期（或频率），而与物体的固有周 期（或频率）关.2.共振：做受迫振动的物体，它的 固有

3、频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者 时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图3所示.,周期性驱动力,驱动力,无,相等,图3,热点聚焦热点一 简谐运动规律及应用1.回复力F=-kx.（判断一个振动是不是简谐运 动的依据）2.对称性简谐振动物体具有对平衡位置的对称 性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势 能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向 相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.,3.周期性简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n)为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1)(n为整数)，则物体所处的位置必与原来的

4、位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，要注意多解的可能性或需要写出解答结果的 通式.,热点二 对单摆的理解1.单摆及成立条件 如图4所示，一根轻细线，悬挂着一个小 球，就构成所谓的单摆.能够视为单摆需 要满足两个条件：(1)和小球的质量m相 比，线的质量可以忽略；(2)小球可视为质点，如果小球不能视为质点，则单摆半径为悬点到重 心的距离.2.单摆的受力特征 当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一 个恒定的竖直向下的重力mg和一个变化的始终沿 绳方向指向悬点的拉力F，垂直于速,图4,度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcos；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复 力.

5、当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsin=-=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.3.单摆的周期公式(1)单摆振动的周期公式T=2,该公式提供了 一种测定重力加速度g的方法.(2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离,要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在 圆弧的圆心.(3)g为当地重力加速度.,特别提示 如单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡 态，则g为等效重力加速度，大体有这样几种情 况(1)不同星球表面g=GM/r2;(2)单摆处于超重或 失重状态等效g=g0a,如轨道上运行的卫星a=g0 完全失重,等效g=0;(3)不论悬点如何运动还是受 别的作用力，等效g的取值等于在

6、单摆不摆动 时，摆线的拉力F与摆球质量的比值，即等效 g=F/m.,热点三 振动图像1.物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的 规律.特别提示：振动图象不是质点的运动轨迹.2.应用(1)确定振动物体在任意时刻的位 移.如图5中，对应t1、t2时刻的位 移分别为x1=+7 cm,x2=-5 cm.(2)确定振动的振幅.如图振幅是 10 cm.,图5,(3)确定振动周期和频率.振动图象上一个完整 的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期.由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周 期，T=0.2 s，频率f=5 Hz.(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置

7、向位移的正方向运动;在t3 时刻，质点正向着平衡位置运动.(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如 在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负；t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因 为|x1|x2|,所以|a1|a2|.,题型探究题型1 简谐运动的规律【例1】一弹簧振子做简谐运动，周期为T,则正确 的说法是（）A.若t时刻和(t+t)时刻振子运动位移的大小相 等、方向相同，则t一定等于T的整数倍 B.若t时刻和(t+t)时刻振子运动速度的大小相 等、方向相反，则t一定等于T/2的整数倍 C.若t=T，则在t时刻和(t+t)时刻振子运动 的加速度一定相等 D.若t=T/2,

8、则在t时刻和(t+t)时刻弹簧的长 度一定相等,解析 弹簧振子做简谐运动的图 象如右图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等,方 向相同.由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为 T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T 或T的整数倍，因此A选项不正确.图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反,由图可知A点与C、G等点对应的时间差 为T/2或T/2的整数倍,A点与B、F等点对应的时间 差不为T/2或T/2的整数倍,因此B选项不正确;如果 t时刻和(t+t)时刻相差为一个周期T,则这两个时 刻振动情况完全相同,加速度一定相等,选项C正 确;如果t时刻和(t

9、+t)时刻相差半个周期,则这两 个时刻振动的位移大小相等,方向相反,弹簧的长 度显然是不相等的，选项D也不正确.答案 C,方法提炼 借助模型、振动图象是分析此类问题的有效方 法.比较两种方法可以看出，图象法更加直观、快捷.变式练习1 如果下表中给出的是做简谐运动的物体的位移 x、速度v与时间的对应关系,T是振动周期,则 下列选项中正确的是(),时间,状 态,物理量,A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v B.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度v C.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度v D.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v 解析 当t=0时，甲的位移为零，这时刻的速度 为正向最大；当t=

10、T时，甲的位移为正向最 大，这时速度为零.由此可见，丙的速度变化正 好对应甲的位移变化情况.所以A正确.同样可推 出B正确，C、D不正确.答案 AB,题型2 简谐运动图象的应用【例2】如图6为一弹簧振子的振动图象,试完成以 下要求：（1）写出该振子简谐运动的 表达式.（2）在第2 s末到第3 s末这 段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹 性势能各是怎样变化的？（3）该振子在前100 s的总位移是多少？路程是 多少？,图6,思维导图 解析（1）由振动图象可得 A=5 cm,T=4 s,=0 则=rad/s 故该振子简谐运动的表达式为 x=5 sin t cm,(2)由图可知,在t=2 s时,

11、振子恰好通过平衡位 置,此时加速度为零,随着时间的延续,位移值不 断加大,加速度的值也不断变大,速度点续传值 不断变小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大.当 t=3 s时,加速度的值达到最大,速度等于零,动能 等于零,弹性势能达到最大值.(3)振子经一周期位移为零，路程为54 cm=20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前 100 s振子位移x=0,振子路程x=2025 cm=500 cm=5 m.答案（1）x=5sin t cm(2)见解析(3)0 5 m,规律总结 分析简谐运动的图象问题要特别注意以下两点：第一，简谐运动图象实质为位移时间图象；第 二，要将图象所提供的信息与简谐运

12、动特征有 机结合起来，并注意发掘隐含信息.,变式练习2 一弹簧振子沿x轴振动,振幅为4 cm,振子的平衡 位置位于x轴上的O点.图7中的a、b、c、d为四 个不同的振动状态：黑点表示振子的位置,黑点 上的箭头表示运动的方向.图8给出的 四条振动图线,可用于表示振子的振动图象（）,图7,图8,A.若规定状态a时t=0,则图象为 B.若规定状态b时t=0,则图象为 C.若规定状态c时t=0,则图象为 D.若规定状态d时t=0,则图象为 解析 A选项,t=0时,a点位移为3 cm且向正方向 运动,故图象对.D选项,t=0时,d点位移为-4 cm 且向正方向运动,故图象对.B、C与图象 不对应,故A、

13、D对.答案 AD,题型3 受迫振动和共振的应用【例3】一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图9 甲所示，该装置可用于研究弹簧振子的受迫振 动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动 力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就 是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就 可以改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝 码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动 图线如图乙所示.当把手以某一速度匀速运 动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如 图丙所示.若用T0表示弹簧振子的固有周期，T 表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后 砝码振动的振幅，则,(1)稳定后，物体振动的频率f=Hz.(2)欲使物体的振动能

14、量最大，需满足什么 条件？答：.,图9,(3)利用上述所涉及的知识，请分析某同学所提 问题的物理道理.“某同学考虑，我国火车第六次大提速时，需尽 可能的增加铁轨单节长度，或者是铁轨无结头”.答：.解析(1)由丙图可知，f=Hz=0.25 Hz.(2)物体振动能量最大时，即振幅最大，故应发 生共振，所以应有T=T0=4 s.(3)若单节车轨非常长，或无结头，则驱动力周 期非常大，从而远离火车的固有周期，即火车 的振幅较小.以便来提高火车的车速.答案(1)0.25(2)(3)见解析,变式练习3 如图10所示，是一个单摆的共 振曲线(g取10 m/s2)(1)求此单摆的摆长？(2)若增大摆长,共振曲

15、线的峰值向左移还是向右移?解析(1)由单摆的共振曲线知,当驱动力的频率为 0.3 Hz时单摆发生共振,因此单摆的固有频率为 0.3 Hz,固有周期为T0=s;由T=2 得单摆的 摆长l为l=2.8 m.(2)当摆长增大时，周期变大，固有频率变小，曲 线的峰值应向左移.答案(1)2.8 m(2)左移,图10,题型4 单摆模型问题 如图11所示，ACB为光滑圆弧形 槽，弧形槽半径为R，R.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问：（1）两球第1次到达C点的时间之比.（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释 放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左 侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆

16、弧最低点 C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？,图11,解析(1)甲球做自由落体运动 R=gt12,所以t1=乙球沿圆弧做简谐运动(由于 R，可认为摆 角5).此振动与一个摆长为R的单摆振动 模型相同，故此等效摆长为R，因此第1次到达C 处的时间为t2=所以t1t2=,(2)设甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落 t甲=由于乙球运动的周期性，所以乙球到达最低点时 间为 t乙=n=0,1,2 由于甲、乙相遇t甲=t乙 解得h=(n=0,1,2)答案(1)(2),1.悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期为2 s,从最低 点的位置向上运动时开始计时,它的振动图象如 图12所示,由图可知(),素能提升,

17、图12,A.t=1.25 s时振子的加速度为正,速度为正 B.t=1.7 s时振子的加速度为负,速度为负 C.t=1.0 s时振子的速度为零,加速度为负的最 大值 D.t=1.5 s时振子的速度为零,加速度为负的最 大值 解析 弹簧振子振动时,加速度的方向总是指向 平衡位置,且在最大位移处,加速度值最大,在平 衡位置处加速度的值为0,由图可知,t=1.25 s时,振子的加速度为负,t=1.7 s时振子的加速度为 正,t=1.5 s时振子的加速度为零,故A、B、D均 错误,只有C正确.答案 C,2.如图13两个弹簧振子悬挂在同一支架上,已知甲弹 簧振子的固有频率为8 Hz,乙弹簧振子的固有频率

18、为72 Hz,当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的 驱动力作用做受迫振动时,则两个弹簧振子的振动 情况是(),图13,A.甲的振幅较大,且振动频率为8 Hz B.甲的振幅较大,且振动频率为9 Hz C.乙的振幅较大,且振动频率为9 Hz D.乙的振幅较大,且振动频率为72 Hz 解析 根据受迫振动发生共振的条件可知甲的 振幅较大,因为甲的固有频率接近驱动力的频率,做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,所 以B选项正确.答案 B,3.如图14甲所示,一弹簧振子在AB间做简谐运动,O 为平衡位置,如图乙是振子做简谐运动时的位 移时间图象,则关于振子的加速度随时间的变 化规律,下列四个图象中正确

19、的是(),图14,解析 根据简谐运动的运动特点知a=,因x 随t成正弦函数变化,又与x方向相反,所以C选项 正确.答案 C,4.如图15所示,乙图图象记录了甲图单摆摆球的动 能、势能和机械能随摆球位置变化的关系，下 列关于图象的说法正确的是()A.a图线表示势能随位置的变化关系 B.b图线表示动能随位置的变化关系 C.c图线表示机械能随位置的变化关系 D.图象表明摆球在势能和动能的相互转化过程 中机械能不变,CD,图15,5.做简谐振动的单摆摆长不变,若摆球质量增加为 原来的4倍,摆球经过平衡位置时速度减小为原 来的1/2,则单摆振动的()A.频率、振幅都不变 B.频率、振幅都改变 C.频率不

20、变、振幅改变 D.频率改变、振幅不变 答案 C,6.如图16所示的三个图线分别是用不同的传感器测 出的不同物体的振动图线.从三个图线可知,这三 个物体振动的共同特点是具有,三个物体中,最简单的振动是 的振动.图中心脏跳动的图 线是某人的心电图,方格纸每个小方格的宽度是 0.5 cm,心电图记录仪拖动方格纸的速度是 1.8 cm/s.则此人的心率是 次/分.,图16,解析 三个振动图线都是周期性变化的，因此，这三个振动物体的共同特点是具有周期性；其中 最简单的振动是弹簧振子的振动；由心脏跳动的 图线可知，在心脏每跳一下的时间间隔内，方格 纸前移距离为x=3.20.5 cm=1.6 cm，所以心脏

21、 跳动的时间间隔为T=，此人的心率即每 分钟心跳次数为 次/分=67.5次/分.答案 周期性 弹簧振子 67.5,7.根据如图17所示的振动图象：(1)算出下列时刻振子对平衡 位置的位移.t1=0.5 s;t2=1.5 s(2)将位移随时间的变化规律写成 x=Asin(t+)的形式并指出振动的初相位是 多少？解析(1)由图象可知A=10 cm,T=4 s 故位移:x=Acost=10cos t=10cos t cm,图17,当t1=0.5 s时，x1=5 cm 当t2=1.5 s时，x2=-5 cm(2)振子的位移表达式为：x=10cos t=10sin(t+)cm 初相位为：=.答案(1)5 cm-5 cm(2)x=10sin(t+)cm,反思总结,返回,