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1、运 筹 学(Operations Research),经济学核心课程,Chapter5 目标规划(Goal programming),目标规划问题及其数学模型目标规划的图解分析法目标规划应用举例,本章主要内容：,目标规划问题及其数学模型,问题的提出：目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目
2、标或从总体上离规定目标的差距为最小。,线性规划模型的特征是在满足一组约束条件下，寻求一个目标的最优解（最大值或最小值）。而在现实生活中最优只是相对的，或者说没有绝对意义下的最优，只有相对意义下的满意。1978年诺贝尔经济学奖获得者.西蒙(-美国卡内基-梅隆大学,1916-)教授提出“满意行为模型要比最大化行为模型丰富得多”，否定了企业的决策者是“经济人”概念和“最大化”行为准则，提出了“管理人”的概念和“令人满意”的行为准则，对现代企业管理的决策科学进行了开创性的研究,目标规划问题及其数学模型,目标规划问题及其数学模型,例5.1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在A,B,C,D四种
3、不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。,问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最大？,目标规划问题及其数学模型,解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：,其最优解为x14，x22，z14元,目标规划问题及其数学模型,但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如：力求使利润指标不低于12元；考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比例；C和D为贵重设备，严格禁止超时使用；设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求充分利用，又尽可能不加班。,要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。,目标规划问题及其数学模型,线性规划模型存在的
4、局限性：1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题中并非所有约束都需要严格满足。2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目标和约束可以相互转化。3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解就可以。,目标规划问题及其数学模型,目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的局限性？,1.设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。,偏差变量用下列符号表示：,d+超出目标的偏差，称正偏差变量d-未达到目标的偏差，称负偏差变量,正负偏差变量两者必有一个为0。当实际值
5、超出目标值时：d+0,d-=0;当实际值未达到目标值时：d+=0,d-0;当实际值同目标值恰好一致时：d+=0,d-=0;故恒有d+d-=0,目标规划问题及其数学模型,2.统一处理目标和约束。,对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划中的约束条件。如C和D设备的使用限制。,对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过目标约束来表达。,1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为：x1=x2。由于这个比例允许有偏差，当x1x2时，出现正偏差d+，即：x1-d+=x2或x1x2-d+=0,目标规划问题及其数学模型,正负偏差不可能同时出现，故总有：x1x2+d-
6、d+=0,若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d-0,用目标约束可表为:,若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d0,用目标约束可表为:,若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d0,也不希望d-0用目标约束可表为:,目标规划问题及其数学模型,3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，目标约束表示为：,2）力求使利润指标不低于12元，目标约束表示为：,4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，目标约束表示为：,目标规划问题及其数学模型,3.目标的优先级与权系数,在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低可分别通过优先因子P1,P2
7、,表示。对于同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。,现假定：,第1优先级P1企业利润；第2优先级P2甲乙产品的产量保持1:1的比例 第3优先级P3设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性比设备B大三倍。,目标规划问题及其数学模型,上述目标规划模型可以表示为：,目标规划问题及其数学模型,目标规划数学模型的一般形式,达成函数,目标约束,其中：gk为第k个目标约束的预期目标值，和 为pl 优先因子对应各目标的权系数。,目标规划问题及其数学模型,用目标规划求解问题的过程：,明确问题，列出目标的优先级和权系数,构造
8、目标规划模型,求出满意解,满意否？,分析各项目标完成情况,据此制定出决策方案,N,Y,【例5.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表5.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？,目标规划问题及其数学模型,表5.1 产品资源消耗,目标规划问题及其数学模型,最
9、优解X（50，30，10），Z3400,目标规划问题及其数学模型,现在决策者根据企业的实际情况和市场需求，需要重新制定经营目标，其目标的优先顺序是：（1）利润不少于3200元（2）产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5（3）提高产品丙的产量使之达到30件（4）设备加工能力不足可以加班解决，能不加班最好不加班（5）受到资金的限制，只能使用现有材料不能再购进,【解】设甲、乙、丙产品的产量分别为x1、x2、x3。如果按线性规划建模思路，最优解实质是求下列一组不等式的解,目标规划问题及其数学模型,目标规划问题及其数学模型,通过计算不等式无解，即使设备加班10小时仍然无解在实际生产过程中生产方案总是存
10、在的，无解只能说明在现有资源条件下，不可能完全满足所有经营目标,这种情形是按事先制定的目标顺序逐项检查，尽可能使得结果达到预定目标，即使不能达到目标也使得离目标的差距最小，这就是目标规划的求解思路，对应的解称为满意解下面建立例4.1的目标规划数学模型,目标规划问题及其数学模型,设d1-未达到利润目标的差值,d1+为超过目标的差值,当利润小于3200时,d1且d10,有40 x1+30 x2+50 x3+d1=3200成立当利润大于3200时，d1且d1，有40 x1+30 x2+50 x3-d1+=3200成立当利润恰好等于3200时，d1=且d1+=0,有40 x1+30 x2+50 x3=
11、3200成立实际利润只有上述三种情形之一发生，因而可以将三个等式写成一个等式,40 x1+30 x2+50 x3+d1d1+=3200,目标规划问题及其数学模型,（2）设 分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变量,则产量比例尽 量不超过1.5的数学表达式为：,（3）设d3、d分别为品丙的产量未达到和超过30件的偏差变量，则产量丙的产量尽可能达到30件的数学表达式为：,（1）利润不少于3200理解为达到或超过3200，即使不能达到也要尽可能接近3200,可以表达成目标函数d1取最小值，则有,目标规划问题及其数学模型,（4）设d4、d4+为设备A的使用时间偏差变量,d5、d5+为设备B的使用时间偏
12、差变量，最好不加班的含义是 d4+和d5+同时取最小值，等价 于d4+d5+取最小值，则设备的目标函数和约束为：,（5）材料不能购进表示不允许有正偏差，约束条件为小于等于约束,目标规划问题及其数学模型,式中：Pj（j=1,2,3,4）称为目标的优先因子，第一目标优于第二目标，第二目标优于第三目标等等，其含义是按P1、P2、的次序分别求后面函数的最小值.,由于目标是有序的并且四个目标函数非负，因此目标函数可以表达成一个函数：,目标规划问题及其数学模型,则问题的目标规划数学模型为：,目标规划问题及其数学模型,满意解：,约束分析：,（1）目标规划数学模型的形式有：线性模型、非线性模型、整数模型、交互
13、作用模型等（2）一个目标中的两个偏差变量di-、di+至少一个等于零，偏差变量向量的叉积等于零：dd=0,（3）一般目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构成的函数求最小值，按多个目标的重要性，确定优先等级，顺序求最小值,说明,目标规划问题及其数学模型,（4）按决策者的意愿，事先给定所要达到的目标值 当期望结果不超过目标值时，目标函数求正偏差变量最小;当期望结果不低于目标值时，目标函数求负偏差变量最小;当期望结果恰好等于目标值时，目标函数求正负偏差变量之和最小,目标规划问题及其数学模型,（5）由目标构成的约束称为目标约束，目标约束具有更大的弹性，允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差，如
14、例1中的5个等式约束；如果决策者要求结果一定不能有正或负的偏差，这种约束称为系统约束，如例1的材料约束；,（6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等方法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序；,目标规划问题及其数学模型,（7）合理的确定目标数。目标规划的目标函数中包含了多个目标，决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标，如果同一目标中还想分出先后次序，可以赋予不同的权系数，按系数大小再排序。例如，在例1中要求设备B的加班时间不超过设备A的时间，目标函数可以表达为,表示在中先求 最小再求 最小。,目标规划问题及
15、其数学模型,（8）多目标决策问题多目标决策研究的范围比较广泛，在决策中，可能同时要求多个目标达到最优例如，企业在对多个项目投资时期望收益率尽可能最大，投资风险尽可能最小，属于多目标决策问题，本章的目标规划尽管包含有多个目标，但还是按单个目标求偏差变量的最小值，目标函数中不含有决策变量，目标规划只是多目标决策的一种特殊情形,目标规划问题及其数学模型,（9）目标规划的一般模型设xj（j=1,2,n）为决策变量,式中p k 为第k 级优先因子,k=1、2、K；wkl-、wkl+，为分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值，l=1,L(4.1b)为系统约束,（4.1c）为目
16、标约束,目标规划问题及其数学模型,【例5.3】某企业集团计划用1000万元对下属5个企业进行技术改造，各企业单位的投资额已知，考虑2种市场需求变化、现有竞争对手、替代品的威胁等影响收益的4个因素，技术改造完成后预测单位投资收益率(（单位投资获得利润/单位投资额）100)如表42所示,集团制定的目标是：（1）希望完成总投资额又不超过预算；（2）总期望收益率达到总投资的30%；（3）投资风险尽可能最小；（4）保证企业5的投资额占20%左右集团应如何作出投资决策,目标规划问题及其数学模型,表5-2,目标规划问题及其数学模型,【解】设xj（j=1,2,5）为集团对第 j 个企业投资的单位数,（1）总投
17、资约束：,（2）期望利润率约束：,整理得,目标规划问题及其数学模型,(3）投资风险约束投资风险值的大小一般用期望收益率的方差表示，但方差是x的非线性函数这里用离差（rijE(rj)）近似表示风险值，例如，集团投资5个企业后对于市场需求变化第一情形的风险是：则4种因素风险最小的目标函数为：，约束条件为,目标规划问题及其数学模型,目标规划问题及其数学模型,根据目标重要性依次写出目标函数，整理后得到投资决策的目标规划数学模型：,目标规划问题及其数学模型,【例5.4】车间计划生产I、II 两种产品，每种产品均需经过A、B两道工序加工工艺资料如表43所示,（1）车间如何安排生产计划，使产值和利润都尽可能
18、高（2）如果认为利润比产值重要，怎样决策,表5-3,目标规划问题及其数学模型,【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的日产量，得到线性多目标规划模型：,目标规划问题及其数学模型,（1）将模型化为目标规划问题首先，通过分别求产值最大和利润最大的线性规划最优解产值最大的最优解：X(1)（20，40），Z13800利润最大的最优解：X(2)（30，30），Z2540目标确定为产值和利润尽可能达到3800和540，得到目标规划数学模型：,目标规划问题及其数学模型,等价于,（2）给 d2-赋予一个比d1-的系数大的权系数,如，约束条件不变.权系数的大小依据重要程度给定，或者根据同一优先级的偏差变量的关系
19、给定，例如，当利润d2-减少一个单位时，产值d1-减少3个单位，则赋予d2-权系数3，则目标函数为,目标规划问题及其数学模型,大型煤炭企业生产和供给问题,目标规划应用举例,表1徐州矿务集团各矿井生产情况表,表2 徐州矿务集团客户需求情况,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,目标规划应用举例,课堂练习,1.某农场有3万亩农田准备种玉米、大豆和小麦。这3种作物每亩分别需要施化肥0.12吨、0.20吨和0.15吨。预计秋后玉米、大豆和小麦每
20、亩可分别收获500千克、200千克和300千克，玉米、大豆和小麦每千克售价分别为0.24元、1.20元和0.70元，农场年初规划时考虑如下优先顺序目标：(1)年终收益不低于350万元；(2)总产量不低于1.5万吨；(3)小麦产量以0.5万吨为宜；(4)大豆产量不少于0.2万吨；(5)玉米产量不超过0.6万吨；(6)农场现在能够提供5000吨化肥，若不够可以在市场高价购买，但是希望高价采购量越少越好。试对该农场的生产计划建立数学模型。,课堂练习,2.某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。企业的经营目标优先顺序为：(1)力求使利润指标不低于12元；(2)考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比例；(3)C和D为贵重设备，严格禁止超时使用；(4)设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求充分利用，又尽可能不加班。试建立目标规划模型。,课堂练习,1.解：设玉米、大豆、小麦的种植亩数分别为，述目标规划模型可以表示为：,课堂练习,2.解：上述目标规划模型可以表示为：,
