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1、微积分 第三章导数与微分,1,3.1 导数的概念,3.2 求导基本公式与求导运算法则,3.3 微分,3.4 高阶导数和高阶微分,第三章 导数与微分,3.5 边际与弹性,本章计划课时:14课时,微积分 第三章导数与微分,2,3.1 导数的概念,引例1、变速直线运动的瞬时速度,一、引例,微积分 第三章导数与微分,3,（1）当物体作匀速运动时,（2）当物体作变速运动时,微积分 第三章导数与微分,4,引例2 平面曲线切线的斜率,割线 MN 的斜率为：,微积分 第三章导数与微分,5,割线 MN 的极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处的切线。,切线 MT 的斜率为：,微积分 第三章导数与微分,6,二
2、、导数的定义,微积分 第三章导数与微分,7,微积分 第三章导数与微分,8,微积分 第三章导数与微分,9,微积分 第三章导数与微分,10,微积分 第三章导数与微分,11,微积分 第三章导数与微分,12,三、导数的几何意义,微积分 第三章导数与微分,13,四、单边（侧）导数,微积分 第三章导数与微分,14,微积分 第三章导数与微分,15,同样单边导数定义式也可简化为：,微积分 第三章导数与微分,16,解,思考,微积分 第三章导数与微分,17,五、可导性与连续性的关系,即,定理2.1,微积分 第三章导数与微分,18,解,问题：连续是否一定可导？,微积分 第三章导数与微分,19,微积分 第三章导数与微
3、分,20,微积分 第三章导数与微分,21,函数在其可导的点处一定连续,函数在其不连续的点处一定不可导,函数在其连续的点处不一定可导,结论,微积分 第三章导数与微分,22,六、用定义求导数举例,同样单边导数定义式也可简化为：,微积分 第三章导数与微分,23,解,常数的导数等于零,解,微积分 第三章导数与微分,24,例3.求指数函数,的导数.,解,微积分 第三章导数与微分,25,解,特别地,微积分 第三章导数与微分,26,解,正弦函数的导数等于余弦函数.,类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数.,微积分 第三章导数与微分,27,注：分段函数分段点的导数必须用定义求,例6.设函数,解,因为,微积分
4、第三章导数与微分,28,例7.,解,微积分 第三章导数与微分,29,方法一：,例8.,解,微积分 第三章导数与微分,30,微积分 第三章导数与微分,31,方法二：,微积分 第三章导数与微分,32,微积分 第三章导数与微分,33,解,例9.,微积分 第三章导数与微分,34,由导数的几何意义知,所求切线的斜率为:,解,例11.,微积分 第三章导数与微分,35,3.2 求导基本公式与求导运算法则,一、四则运算求导法则,微积分 第三章导数与微分,36,证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),微积分 第三章导数与微分,37,微积分 第三章导数与微分,38,证毕.,微积分 第三章导数与微分,39
5、,例1.,解,微积分 第三章导数与微分,40,解:,例2.,微积分 第三章导数与微分,41,解,例3.,微积分 第三章导数与微分,42,例4.,解,微积分 第三章导数与微分,43,解,例5.,微积分 第三章导数与微分,44,常用公式：,微积分 第三章导数与微分,45,二、反函数的求导法则,微积分 第三章导数与微分,46,微积分 第三章导数与微分,47,解,例5.,微积分 第三章导数与微分,48,解,例6.,微积分 第三章导数与微分,49,三、基本导数的公式,微积分 第三章导数与微分,50,微积分 第三章导数与微分,51,微积分 第三章导数与微分,52,Guess,四、复合函数求导法则,微积分
6、第三章导数与微分,53,微积分 第三章导数与微分,54,微积分 第三章导数与微分,55,法则5(连锁法则),Outfunction,innerfunction,微积分 第三章导数与微分,56,证,知,由极限与无穷小关系知,于是,微积分 第三章导数与微分,57,即,微积分 第三章导数与微分,58,解.,例1,求下列函数的导数,微积分 第三章导数与微分,59,微积分 第三章导数与微分,60,解,例2.,微积分 第三章导数与微分,61,解,例3.,微积分 第三章导数与微分,62,例4.,解,微积分 第三章导数与微分,63,复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.,设,则,或,微积分 第三章导数与
7、微分,64,解,微积分 第三章导数与微分,65,微积分 第三章导数与微分,66,解,微积分 第三章导数与微分,67,解,微积分 第三章导数与微分,68,例8,解,微积分 第三章导数与微分,69,称这类函数为隐函数.,五、隐函数求导法,微积分 第三章导数与微分,70,解,例9,微积分 第三章导数与微分,71,解,例10,微积分 第三章导数与微分,72,解,例11,微积分 第三章导数与微分,73,六、对数求导法,两类函数,有简便求,微积分 第三章导数与微分,74,对 x 求导,两边取对数,例12,微积分 第三章导数与微分,75,微积分 第三章导数与微分,76,例13 求,的导数.,解 两边取对数,
8、化为隐函数,两边对 x 求导,微积分 第三章导数与微分,77,解法2 将函数化为复合函数,微积分 第三章导数与微分,78,例12,解 两边取对数,微积分 第三章导数与微分,79,微积分 第三章导数与微分,80,面积的改变量：,一、微分的引进,3.3 微分,微积分 第三章导数与微分,81,微积分 第三章导数与微分,82,二、微分的定义,微积分 第三章导数与微分,83,微积分 第三章导数与微分,84,(充分性),即,微积分 第三章导数与微分,85,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微积分 第三章导数与微分,86,微积分 第三章导数与微分,87,微积分 第三章导数
9、与微分,88,注意：,微积分 第三章导数与微分,89,三、基本微分公式与微分法则,微积分 第三章导数与微分,90,微分法则：,则,微积分 第三章导数与微分,91,微分法则：,设,都可微，,则,微积分 第三章导数与微分,92,复合函数的微分法则：,而,所以,即微分形式的不变性,微积分 第三章导数与微分,93,微积分 第三章导数与微分,94,微积分 第三章导数与微分,95,微积分 第三章导数与微分,96,微积分 第三章导数与微分,97,四、微分在近似计算中的应用,由微分定义知,(1),即,微积分 第三章导数与微分,98,Linear Approximations and Differentials
10、,微积分 第三章导数与微分,99,解:设,取,则,微积分 第三章导数与微分,100,微积分 第三章导数与微分,101,即在生产100单位产品的基础上再多生产一单位产品，成本会增加2.96,微积分 第三章导数与微分,102,可证,当,很小时,有近似公式:,(4),微积分 第三章导数与微分,103,微积分 第三章导数与微分,104,解:,微积分 第三章导数与微分,105,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,3.4 高阶导数,微积分 第三章导数与微分,106,记作：,或,即,二阶导数的导数，叫做三阶导数，,记作：,或,微积分 第三章导数与微分,107,三阶导数的导数，叫做四阶导数，,记作：,或
11、,记作：,或,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。,微积分 第三章导数与微分,108,微积分 第三章导数与微分,109,微积分 第三章导数与微分,110,微积分 第三章导数与微分,111,微积分 第三章导数与微分,112,微积分 第三章导数与微分,113,微积分 第三章导数与微分,114,微积分 第三章导数与微分,115,微积分 第三章导数与微分,116,由上面各阶导数可以得到,微积分 第三章导数与微分,117,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数,则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz)公式,微积分 第三章导数与微分,118,例.,求,解:设,则,代入莱布尼兹公式,得,微积分 第三章
12、导数与微分,119,微积分 第三章导数与微分,120,以上这个公式称为莱布尼兹（Leibniz）公式，可用于求乘积的高阶导数,微积分 第三章导数与微分,121,微积分 第三章导数与微分,122,微积分 第三章导数与微分,123,微积分 第三章导数与微分,124,微积分 第三章导数与微分,125,微积分 第三章导数与微分,126,3.5 边际与弹性,一、边际的概念,微积分 第三章导数与微分,127,微积分 第三章导数与微分,128,微积分 第三章导数与微分,129,微积分 第三章导数与微分,130,微积分 第三章导数与微分,131,微积分 第三章导数与微分,132,微积分 第三章导数与微分,133,二、弹性函数,1、弹性的概念,弹性的意义：,微积分 第三章导数与微分,134,微积分 第三章导数与微分,135,幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数,微积分 第三章导数与微分,136,2、弹性的经济应用,(1)需求价格弹性,注意,微积分 第三章导数与微分,137,微积分 第三章导数与微分,138,微积分 第三章导数与微分,139,(2)供给价格弹性,微积分 第三章导数与微分,140,(3)收益价格弹性,微积分 第三章导数与微分,141,微积分 第三章导数与微分,142,
