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1、13-5多自由度体系的自由振动,5.1 自由振动分析,一.运动方程的建立及其解,自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。,1.建立运动方程,(1)刚度法,=,+,+,或记作,其中,若为自由振动则有,于是:,(2)柔度法,=,简记为,位移向量,柔度矩阵,荷载向量,质量矩阵,若为自由振动则有,于是:,简记为,设方程的特解为,2.运动方程的解,代入方程,得,经整理,得,-振型方程,为寻求Y1、Y2的非零解，上式中的系数行列式必为零，于是有：,-频率方程,展开上式可得到一个关于 的二次方程,-频率方程,展开,整理后有：,-与第一频率相对应的振型，简称第一振型,解频率方程得 的两个根,将 频
2、率代入振型方程，注意到行列式等于零，振型方程中的两个方程是线性相关的，只有一个独立的方程：,同样处理将 频率代入振型方程,-与第二频率相对应的振型，简称第二振型,-频率方程,即,或记作,-振型方程,解频率方程得 的两个根,将 频率代入振型方程,将 频率代入振型方程,特解1,特解2,通解,其中A1、A2是由初始条件确定的任意常数。,特解1也可写为,特解2也可写为,二.关于频率与振型的讨论,体系按特解振动时有如下特点,1)各质点同频同步;,2)任意时刻,各质点位移的比 值保持不变,定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。,几点说明：,1.按振型作自由振动时，各质点的
3、 速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。,2.发生按振型的自由振动是有条件的.,3.振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.,4.N自由度体系有N个频率和N个振型,频率方程,解频率方程得N个 从小到大排列,依次称作第一频率,第二频率.,第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.,将频率代入振型方程,得N个振型,N个振型彼此之间是线性无关的.,5。若已知柔度矩阵时,6。求振型、频率可列幅值方程.,振型方程,频率方程,按振型振动时,振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移,三.求多自由度体系频率、振型例题,例1.求图示体系的频率、振型,解,令,第一振型,第二振型,对称
4、体系的振型分成两组:,一组为对称振型,一组为反对称振型,按对称振型振动,按反对称振型振动,第二振型,解:,例2.求图示体系的频率、振型.已知:,（3）求主振型,第1振型,第2振型,（2）求频率,代公式,若有,例3.求图示体系的频率、振型,解:,令,例4.试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）计算频率,（2）振型,第一振型,第二振型,例5 利用对称性简化图示结构柔度系数的求解。,解：,因为结构和质量分布均匀对称，其振型也是对称和反对称的，分别取半边结构计算。,求对称振型,求反对称振型,以求对称振型为例说明 中系数的求解。首先求出半边结构在集中质量上分别作用有单位集中力产生的弯矩图。,(a)M1图,(b)M2 图,为了求柔度系数，可以在另外的静定基本结构上加单位力并作弯矩图。,1,
