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1、12.3角平分线的性质,旧知回顾,一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.,符号语言：,射线OC是AOB的角平分线,1=2,1.角平分线的定义：,2、点到直线距离:,从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.,旧知回顾,旧知回顾,3.三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,如何做角平分线呢？,1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?,情境问题,如果前面活动中的纸片
2、换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？,活动2,2、证明：在ACD和ACB中 AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的 对应角相等）AC平分DAB（角平分线的定义）,尺规作角的平分线,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线OC,射线即为所求,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）,老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.,A,为什么OC是角平分线呢？,O,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC求
3、证：OC平分AOB,证明：在OMC和ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，OMC ONC（SSS）MOC=NOC 即：OC平分AOB,1平分平角AOB2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？3结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,实践应用,角平分线有什么性质呢？OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，,1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：,2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出
4、结论：_,C,O,B,A,PD=PE,角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA，PE OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.,猜想：,C,数学符号表示已知和求证：,注意,特别是文字性叙述的几何证明题,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证:PD=PE,证明：OC平分 AOB（已知）1=2（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）PDO=PEO（垂直的定义）在PDO和PEO中 PDO=PEO（已证）1=2（已证）OP=O
5、P（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,你还可以得到其他什么结论？,1.先证所缺条件,2.写齐条件：一个中心三个基本点,1.OD=OE,2.PO是DPE的平分线,O,D,E,P,P到OA的距离,P到OB的距离,角平分线上的点,几何语言描述：,OC平分AOB，且PDOA，PEOB,PD=PE,A,C,B,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,角平分线的性质：,不必再证全等,作用：,判断线段相等的依据.,如图，AD平分BAC（已知）,=，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,判断正误：,练习1,如图，DCAC，DBAB（已知）,=
6、，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,AD平分BAC,DCAC，DBAB（已知）,=，（）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,4,随课巩固,例1:如图，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC于点D，若BC8,BD5，则点D到AB的距离为？,E,DE=CD=BC-BD=8-5=3,在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.,课堂练习,提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质,要证AECBED,有哪些条件？需要先证吗？,请写出证明过程,例2：如图，ABC的角平分线BM
7、、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。,E,D,F,M,N,例题讲解,N,D,N,D,N,D,N,E,F,D,N,点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段,证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BF是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,D,E,F,结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等,练习：如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,F,G,H,证明：过点P作PG、PF、PH分别垂直于AB、BC、CA，垂足为G、F、H BD是ABC的角平分线，点P在BM上 PG=PF（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PF=PH.PG=PF=PH.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,两外角平分线的交点到三边的距离相等,得到结论：,小结:,及画一条已知直线的垂线；,2：角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,判断线段相等的依据.,1.如何作一个已知角的角平分线,作业布置,
