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1、第七章 向量代数与空间解析几何,第一节 向量代数,第二节 空间的平面和直线,第三节 几种二次曲面和空间曲线简介,二、向量的概念,三、向量的线性运算,一、空间直角坐标系,四、向量的坐标表示,五、向量的模、方向余弦的坐标表示,1 向量代数,六、向量的三种乘积运算,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴,y轴,z 轴,过空间一定点 O,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐标面上的点 A,B,C,点 M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0
2、,0);,坐标轴:,坐标面:,表示法:,向量的模:,向量的大小或长度,二、向量的概念,向量:,(或矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k,个向量共面.,三、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,2.向量
3、的减法,三角不等式,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,例 1.,设 a 为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数 的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,则,四.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,设,则,平行向量对应坐标成比例:,例2.已知两点,在AB直线上求一点 M,使,解:设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明:由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,五、向量的模、方向余弦的坐标表示式,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两
4、点间的距离公式:,对两点,与,例3.在 z 轴上求与点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?,离的点.,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例4.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,例5.设点 A 位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点 A 的坐标.,则,因点 A 在第一卦限,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,作业：习题7-1 P-15 3,5,6,7 P-16 B类 2题,
