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1、第二十讲直线与圆直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察.讨论直线与圆的位置关系的重点是宜线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法（距离与半径的比较），我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点.【例题求解】【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切。于B,CD切。O于D,交BA的延长线于E,若EA=I,ED=2,则BC的
2、长为.思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD,则OD_LEC又有相似三角形，先求出。的半径.注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用.【例2】如图，AB、AC与。O相切于B、C,NA=50,点P是圆上异于B、C的一个动点，则NBPC的度数是（）A.65oB.115oC.60和115D.130和50（山西省中考题）思路点拨略【例3】如图，以等腰AABC的一腰AB为直径的。O交BC于D,过D作DE_LAC于E,可得结论：DE是。O的切线.问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆的交BC
3、于D,DE_LAC的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm,sinA=1,那么圆心O在AB的什么位置时，G）O与AC相切？（2001年黑龙江省中考题）思路点拨（1）是结论探索题，（2）是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解.【例4】如图，已知RtaABC中，AC=5,BC=12,NACB=90,P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B、C不重合).(1)当PQAC,且Q为BC的中点时，求线段PC的长：(2)当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由
4、.(广州市中考题)思路点拨对于(2),易发现只有点P能作为直角顶点，建立一个研究的模型一一以CQ为宜径的圆与线段AB的交点就是符合要求的点P,从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ的取值范围.注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有：(1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径.一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；【例5】如图，在正方形ABCD中，AB=I,Xd是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的
5、任意一点(点E与点A、D不重合)，过E作菽:所在圆的切线，交边DC于点F,G为切点.(1)当NDEF=45时，求证点G为线段EF的中点；(2)设AE=x,FC=y,求y关于X的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)将ADEF沿直线EF翻折后得4DEF,如图，当EF=时，讨论AADQ与aEDF是否相似，如果6相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.(上海市中考题)思路点拨图中有多条。B的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3),由(2)求出X的值，确定E点位置，这是解题的关键.Sa图b注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质
6、、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互助等思想方法，具有较强的选拔功能.学力训练1 .如图，AB为。O的直径，P点在AB延长线上，PM切。O于M点，若OA=,FM=J,那么APMB的周长为.（河北省中考题）2 .PA、PB切OO于A、B,NAPB=78,点C是。O上异于A、B的任意一点，则ZACB=.3 .如图，EB、EC是。O的两条切线，B、C是切点，A、D是。O上两点，如果NF=46,NDCF=32,4 .如图，以aABC的边AB为直径作。O交BC于D,过点D作G）O的切线交AC于E,要使DE_LAe则aABC的边必须满足
7、的条件是.（武汉市中考题）5 .1%表示直线，给出下列四个论断：/；切。O于点A；4切。O于点B；AB是。O的直径.若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为（）1 B.2C.3D.4（江苏镇江市中考题）6 .如图，圆心O在边长为拉的正方形ABCD的对角线BD上，。过B点且与AD、DC边均相切，则OO的半径是（）A.2（2-l）B.2（2+l）C.22-lD.22+l（广西玉林市中考题）7 .直角梯形ABCD中，ADBC,ZB=90o,AD+BCDC,若腰DC上有一点P,使AP_LBP,则这样的点（）A.不存在B.只有一个C.只有两个D.有
8、无数个（大连市中考题）8 .如图，圆内接aABC的外角NACH的平分线与圆交于D点，DP_LAC于P,DH_LBH于H,下列结论:CH=CP；AD=DB;AP=；DH为圆的切线，其中一定成立的是（）A.B.C.3）D.（第6题）（第8题）（第9题）9 .如图，。是aABC的外接圆，已知NACB=45,ZABC=120,。的半径为1,(1)求弦AC、AB的长：(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与C)O相切，并证明你的结论.10 .如图，AB是。O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD_LAB于E,且PC?=PEPO.(1)求证：PC是G)O的切线；(2)若OE：EA=I:2,
9、且PA=6,求O的半径；(3)求SinNPCA的值.(长沙市中考题)11 .(1)如图a,已知直线AB过圆心O,交。于A、B,直线AF交。于F(不与B重合)，直线/交。O于C、D,交AB于E且与AF垂直，垂足为G,连AC、AD,求证：NBAD=NCAG；ACAD=AEAF.(2)在问题(1)中，当直线/向上平行移动与OO相切时，其他条件不变.请你在图b中画出变化后的图形，并对照图a标记字母；问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由.(辽宁省中考题)(第11题)12 .如图，在RtZABC中，ZA=90o,。0分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上，若A
10、B=a,AC=b,则。O的半径等于.13 .如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=P0,过点Q作。的切线交BA的延长线于点C.(1)当NQPA=60时，请你对AQCP的形状做出猜想，并给予证明.(2)当QP_LAB时，QCP的形状是三角形.(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCP一定是三角形.(吉林省中考题)14 .如图，已知AB为。O的直径，CB切。O于B,CD切G)O于D,交BA的延长线于E,若AB=3,ED=2,则Be的长为()A.2B.3C.3.5D.415
11、 .如图，PA、PB是。O的两条切线，A、B切点，直线OP交(Do于C、D,交AB于E,AF为。O的直径，下列结论：(I)NAPb=NAOP;(2)BC=DF;(3)p5-PD=PEPO,其中正确结论的个数有()(第15题)16 .如图，已知aABC,过点A作外接圆的切线交BC的延长线于点P,生=交，点D在AC上,且丝=LPA2CD2延长PD交AB于点E,则歌的值为（）BEA.-B.C.-D.4422（太原市竞赛题）17 .如图，已知AB为半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线.在AB上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE_LAB,垂足为E.连结B
12、D,交CE于点F.当点C为AB的中点时（如图1）,求证：CF=EF:当点C不思AB的中点时（如图2）,试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论.C（苏州市中考题）图1图218 .如图，ZABC中，ZC=90o,AC=6,BC=3,点D在AC边上，以D为圆心的OD与AB切于点E.（1）求证：ADEABC;（2）设。D与BC交于点F,当CF=2时，求CD的长；（3）设CD=。，试给出一个。值，使OD与BC没有公共点，并说明你给出。的值符合的要求.（浙江省中考题）（第18题）19 .如图，PA、PB与O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交G）O于点E、C,交AB于点D.求.丁AC2
13、AD证：丁=BC2BD（天津市选拔赛试题）20.-半径是后,0如图，。0与X轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心CM（1）求A、B、C、D四点的坐标；（2）求经过点D的切线的解析式；（3）问过点A的切线与过点D的切线是否垂直?若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由.fc点P距离地21.当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？如图，面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角NPEQ最大，站在此处观赏最理想.(1)设点E到墙壁的距离为X米，求a、b、m,X的关系式；(2)当a=2.5,b=2,m=
14、1.6时，求:(a)点E和墙壁距离X米；(b)最大视角ZPER的度数(精确到1度).(常州市中考题)多考答金回直线与BI【例题求解】例13连结OD先由切割线定理求出AB=3QD=.例2选A例3(1)上述结论仍然成立，连OD.证明ODAC.得NODE=90，2)设切点为M.连OM.设Gx)的半径为R,则JtinA=察,即占=解得R=母故当圆心O距B点呈Cm时。0与AC相切.例S(I)CP-,(2)以CQ为直径作半B1。，当半圆D与AB相切时,设切点为M,连DM,WMC=M-5,MB=AB-AM三13-5-8.设CD=H则DMF.DB=12f,由DF=DMI+MB：.即(12工厂寸+8?.解得一学
15、.CQ=2l与当今VCQ12时,D与AB有两个交点.故当等CQ12时ACPQ。1能为直角三角形.例5(I)AE=EG=FC=FG1=(Ol)当EF=时.由得EF=EG+FG=AE+FC=工十品解得ILi或七十,即AE=或AEn十当AE时AADDooZiEDF.理由如下：设直线EF交D。于点H如图,则4EDF4ZEDE.EF_LD。且DHDH.AE=AD=1,.AE-EDIEFzZADeNDiAD-NFED=NFEDLNADiD=NEHDf又NEDIF-NEDF=90*.*.ZEDlF=ZADD.,.AD1DEDlF当AE=时.AD,D与F不相似【学力训练】1.(3+2)2.51或129*3.9
16、9*4.AB=AC5.B只有=和Q正确6.A7.C以AB为直径的圆与DC相交8.D9. 1)AC-3,AB=2.poa11(2)若PA是O的切线，则PA,AO,又BOj_AO得PA/BD,/.诺二筹.TNAOD-90NOAC=30NAOC=9.1, ,.AD=2OD=2OC,PB*2BC.即当P3-2BC时.PA是。O的切线.10. 1)略M2)OA3M3Min/PCA=SinNACE=净.11. (D连BDCF证明ADEsZAFCM2)两个结论都成立,证明略.12. 13.(DZQPC为等边三角形M2)等腰直角三角形M3)等腰三角形.14.B15.Aa+6I4S_PC1IS咏3Sad)乂AE
17、13. ASX-RV=TS-T;2xBE-2Wio17. (1)可M明四边形DAEC为矩形,CE4AD羌=器即EAD=+eC,F为EC的中点,CF=EF.(2) CFHEF仍然成立,连BC并延长BC交于AP于G点.连结AC可以证明NG=NDCG,JGD=DC.又DC-DA,.,.GDlDAJ；APLAB,CEJ_AB；CEAP.：需=器=焉.又GD=AD,故CF=EF.18. (I)Bftl(2)连DF则DE=DF,设CD=Z明AD=6一z,由ZADEszABC,得卷碧.DE赁在RtADCF中.。尸工/+:尸=/+4.鼻包=/+4,解得71.。1(当11时0VV6,.点D在AC上)I(3)JR
18、=3(可取益与RVQVb的任意一个值),则AD=3,DEVAD=33.DEVDC,D与BC没有公共点.19. 连结AEBE,由4PACsaPEA.得衰奇同理，磊一急.YPA=PB.衰U翁,即第二舒.*c+vuarrvconArrv八a，,RnHTiaACADAEEDusACAEADAC9AD在中，由4ACDMEBDAAEDZCBD可得而一而反一丽,从而瓦而=而说?=昉20. (1)连结。B,过点。分别作工轴.y轴的垂线,垂足分别为H、G.可求得A、B、C、D四点坐标分别为A(-1,O),B(3O),C(0,l),D(0.-3).设过点D的切线交r轴于点E,EA=mL则DEl=EAEB=xGr+
19、4).解得工=5.即E(-6,0)由待定系数法求得所求直线解析式为二一十工一3.(3)过点A的切线与过点D的切线互相垂直,证明如下：设过点A的切线与DE相交于点M.与3,轴相交于点N.丁AB=CD=4,即有a=b,ZNAO=ZMDo,7NNAO+NANO-90,.NMND十NMDN=90.21. (D作OD_LPR于点D.则D为PQ中点.PD=宁，又水平直线HE切。O于点E.OE,HE.OP=OE=DH=中一m.由OP=PDi+OD2,得(华-m)=(三万+/,化筒得X2三(-m)(6-m)(2)(力工=0.6米Mii)Y/POQ=2ZPEQ,NPOQ=2/POD.；./PEQ=ZPOD.pnStanZPODN游迷,：,NPEQ=23:
