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1、1.7 内容回顾,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,常用等价无穷小:,定理 设,且,存在(或为),则,(或为),1.8 内容回顾,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,P65 题5 提示:,证明函数f(x)处处不连续.,和无理点列,而,所以,证:对任意实数x0,取有理点列xn且xn x0.,不
2、存在,所以f(x)在x0处不连续.,由x0的任意性得,函数f(x)处处不连续.,而,显然处处连续.,证明函数f(x)仅在x=0处连续.,和无理点列,而,所以,(2)对任意实数x0(0),取有理点列xn且xn x0.,不存在,(1)在x=0处.,因为,所以f(x)在x=0处连续.,函数f(x)在非零点处,处处不连续.,总之函数f(x)仅在x=0处连续.,证:,一、连续函数的运算法则,二、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2.连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四
3、则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,在,上连续.,证:先证明,所以,由,得,(不妨设a1),记,0a1时,令,总之,在,上连续.,证:再证,所以,在,上连续.,由,的任意性得,在,上连续.,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,证:设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,推论:设,则,(连续函数符号与极限 符号可交换次序),例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成
4、,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义的区间内连续P67,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点.,而,但不能说x=2n是函数的间断点.,例2.求,解:,原式,例3.求,解:令,则,原式,例4.求,解:,原式,说明:若,则有,“1”型常用此法特别对于填空题,1+1,若,则,例4.,解:,所以,原式=,=6,若,则,(91考研),(93考研),(95考研),(03考研),
5、P74 8(6),=,令,=,所以原式=e0=1.,例5.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,内容小结,基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义的区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,作业P68 3(5),(6),(7);4(4),(5),(6);5,提示:,“反之”不成立.,一、最值定理,二、介值定理,1.10 闭区间上连续函数的性质,第一章,注意:若函数在
6、开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论.,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,二、介值定理,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,例1.证明方程,一
7、个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,称为函数的零点定理或根的存在性定理.,作业P73 题 2;3;4,证:令,1.设,备用题,证明:方程,在(0,1)内至少有一个正根.,且,反证,设,上无零点,则不变号,不妨设F0.,+),0,0,0,0,0,矛盾.,所以,正根,且不超过 a+b.,证：,2.证明:方程,令,且,根据零点定理,总之原命题得证.,内至少存
8、在一点,在开区间,显然,至少有一个,(1)若上式等号成立,则有正根a+b(不超过 a+b).,(2)若上式等号不 成立,为原方程的一个正根.,(也不超过 a+b).,3.斜渐近线问题(P75 13),直线L:y=ax+b是曲线y=f(x)的渐近线,而点M(x,f(x)到直线L的距离,反之,若,(a0时L是曲线y=f(x)的斜渐近线),则,=00,直线L:y=ax+b是曲线y=f(x)的渐近线,(a0时L是曲线y=f(x)的斜渐近线),曲线,的斜渐近线(),曲线,的斜渐近线为(),(05考研),曲线,的斜渐近线为(),(05考研),(00考研),曲线,的斜渐近线为(),(99考研),曲线,的斜渐近线为(),(98考研),涉及到渐近线方面的填空题与选择题还有很多(水平,铅直,斜),若,则a=();b=().,实际上y=ax+b是曲线y=f(x)的渐近线,如,若,则a=();b=().,=1,4.下列函数不是初等函数的是(),但在x=0处不连续.,所以不是初等函数.,(4),
