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1、2.3 连续型随机变量,定义 设 X 是随机变量,若存在一个非负 可积函数 f(x),使得,其中F(x)是它的分布函数,则称 X 是 连续型 r.v.，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简记为d.f.,2.3 连续,分布函数与密度函数 几何意义,p.d.f.f(x)的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.,在 f(x)的连续点处，,f(x)描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率,积分,注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0,其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值,命题 连续r.v.取任一常数的概率为零,强调 概率为0(1)的事件未必
2、不发生(发生),事实上,对于连续型 r.v.X,例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续r.v.,其 d.f.为,(1)求常数 c,(3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(2)计算,例1,解,(1)令,c=1000,(2),(3),设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时,设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为 Y,例2 设,为使 f(x)成为某 r.v.X 在,解 由,d.f.系数 a,b,c 必须且只需满足何条件？,当,有最小值,上的,另外由,当且仅当 时,得,所以系数 a,b,c 必须且只需
3、满足下列条件,作业 P83 习题二,16 18,习题,(1)均匀分布,若 X 的 d.f.为,则称 X 服从区间(a,b)上的均匀分布或称,X 服从参数为 a,b的均匀分布.记作,均匀分布,X 的分布函数为,即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,进行大量数值计算时,若在小数点后第k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从 的 r.v.随机变量,应用场合,例3 秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X 的 d.f.并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.,解 X 等
4、可能地取得区间,所以,上的任一值，则,(2)指数分布,若 X 的d.f.为,则称 X 服从 参数为 的指数分布,记作,X 的分布函数为,0 为常数,指数分布,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,若 X(),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,年轻,解(1),例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)(t),求,相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布;设备已正常运行小时的情况下,再正常 运
5、行 10 小时的概率.,例4,即,(3)正态分布,若X 的 d.f.为,则称 X 服从参数为,2 的正态分布,记作 X N(,2),为常数，,正态分布,亦称高斯(Gauss)分布,N(-3,1.2),f(x)的性质：,图形关于直线 x=对称,即,在 x=时,f(x)取得最大值,在 x=时,曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点,曲线 y=f(x)以 x 轴为渐近线,曲线 y=f(x)的图形呈单峰状,f(+x)=f(-x),性质,f(x)的两个参数：,位置参数,即固定,对于不同的,对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同,形状参数,固定，对于不同的，f(x)的形状不同.,若 1 2 则,比x=2
6、 所对应的拐点更靠近直线 x=,附近值的概率更大.x=1 所对应的拐点,前者取,Showfn1,fn3,正态变量的条件,若 r.v.X,受众多相互独立的随机因素影响,每一因素的影响都是微小的,且这些正、负影响可以叠加,则称 X 为正态 r.v.,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差；人体的生理特征；,工厂产品的尺寸；农作物的收获量；,海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；,热噪声电流强度；学生的考试成绩；,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,标准正态,其值有专门的表供查.,标准正态分布N(0,1),密度函数,-x,x,对一般的正态分布：X N(,2),其分布函数,作变量代换,例5 设
7、 X N(1,4),求 P(0 X 1.6),解,例5,求 P(X 0).,解一,例6,解二 图解法,0.2,由图,例 3 原理,设 X N(,2),求,解,一次试验中,X 落入区间(-3,+3)的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,当,3 原理,标准正态分布的上 分位数 z,设 X N(0,1),0 1,称满足,的点 z 为X 的上 分位数,z,常用数据,例7 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米)问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9?,解,例7,设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米,故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.,作业 P 84 习题二,22 24 26 27,习题,
