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1、1.6.的概率密度,.及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的.小结,所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象.那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出“概率密度函数”(probability density function,.)的方式.,下面我们就来介绍对.的描述方法.,则称 X为,称 f(x)为 X 的，简称为概率密度.,一、.及其.的定义,有,c.r.v的分布函数在R上连续,概率密度的性质:,1 o,2 o,利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率,对于任意实数 x1,x2,(x1 x2),若 f(x)在点 x 处连续,则有,取任一指定实数值
2、a 的概率均为0.即,请注意:,故有,例2：,等于1,例6：设的密度函数 f(x)为偶函数，,二、常见的.,1.均匀分布,解：,请大家记住!,2.指数分布：,Note1:,表示X的平均取值;(后面证明),请大家记住!,表示X的平均取值;,函数。,无故障工作8小时的条件下，再无故障工作8小时的条件概,率，等于无故障工作8小时的无条件概率，这种性质叫做,“无记忆性”，也就是说，设备以前曾经无故障使用的时间，,不影响它以后使用寿命的统计规律。在连续型分布中只,有指数分布具有这种性质，这就决定了指数分布在排队论,及可靠性理论中的重要地位。,定理1.20,例9：设自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：分
3、钟）,服从=3的指数分布。若一位顾客恰好在你之前开始使用取款机，求（1）至少等候3分钟的概率；（2）等候36分钟的概率。又若你到达取款机时，已有一位顾客正在使用，上述概率又是多少？,3.正态分布,若连续型 r.v.X 的概率密度为,记作,其中 和(0)都是常数,则称X服从参数为 和 的正态分布或高斯分布.,请记住,函数f(x)的图形呈钟形，,越小，曲线越陡峭，,以直线x=为对称轴，,在x=取得最大值,处有拐点，,y=0 是f(x)的水平渐近线。,不难验证，令,泊松积分：,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为
4、Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊的重要地位。,正态分布 的分布函数,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,标准正态分布,请记住,的性质:,事实上,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理：,证：,Z 的分布函数为,则有,定理：,根据此定理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,于是,标准正态,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解
5、决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表,当 x 0 时,表中给的是 x 0 时,(x)的值.,若,若 XN(0,1),设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X10|2).,解:P(10X13),=0.9332 0.5,P(|X10|2),=2(1)1,=0.6826,例6：,=(1.5)(0),在参加统考的人中，及格者100人（及格分数为60），计算,（1）不及格人数；,（2）成绩前10名的人数在考生中所占的比例；,（3）估计第10名考生的成绩。,这表明及格人数占统考人数的比例为84.13%，即,解,P(X h)0.01,或 P(X h)0.99，,下面我们来求满足上式的最小
6、的h.,再看一个应用正态分布的例子:,例：公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.假设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,设车门高度为h cm,按设计要求,因为 XN(170,62),故 P(X h)=,查表得(2.33)=0.99010.99,因而=2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,所以.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,这在统计学上称作“3 准则”.,N(0,1),时，,4.分布,
